Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25098 / 42527
↖ ↑ ↗
← S 47.156105°
W 42.132568°		 ← 415.34 m → S 47.156105°
W 42.127075°		 →
↑
415.33 m
↓
↑
415.33 m
↓
S 47.159840°
W 42.132568°		 ← 415.31 m →
172 494 m²		 S 47.159840°
W 42.127075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382972717285156 y=0.648918151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382972717285156 × 216)
    floor (0.382972717285156 × 65536)
    floor (25098.5)     		tx = 25098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648918151855469 × 216)
    floor (0.648918151855469 × 65536)
    floor (42527.5)     		ty = 42527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25098 / 42527 ti = "16/25098/42527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25098/42527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25098 ÷ 216
    25098 ÷ 65536     		x = 0.382965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42527 ÷ 216
    42527 ÷ 65536     		y = 0.648910522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382965087890625 × 2 - 1) × π
    -0.23406982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73535204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648910522460938 × 2 - 1) × π
    -0.297821044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.935632406784256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73535204} λ = -0.73535204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935632406784256))-π/2
    2×atan(0.392337670055277)-π/2
    2×0.373883518036572-π/2
    0.747767036073143-1.57079632675     		φ = -0.82302929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73535204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.132568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82302929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.156105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25098 KachelY 42527 -0.73535204 -0.82302929 -42.132568 -47.156105
    Oben rechts KachelX + 1 25099 KachelY 42527 -0.73525617 -0.82302929 -42.127075 -47.156105
    Unten links KachelX 25098 KachelY + 1 42528 -0.73535204 -0.82309448 -42.132568 -47.159840
    Unten rechts KachelX + 1 25099 KachelY + 1 42528 -0.73525617 -0.82309448 -42.127075 -47.159840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82302929--0.82309448) × R
    6.51899999999372e-05 × 6371000     		dl = 415.3254899996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82302929--0.82309448) × R
    6.51899999999372e-05 × 6371000     		dr = 415.3254899996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73535204--0.73525617) × cos(-0.82302929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680003227692091 × 6371000     		do = 415.337655034845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73535204--0.73525617) × cos(-0.82309448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679955428344822 × 6371000     		du = 415.30845977812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82302929)-sin(-0.82309448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680003227692091-0.679955428344822)×R²
    abs(-0.73525617--0.73535204)×4.77993472683957e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77993472683957e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77993472683957e-05×40589641000000     		ar = 172494.252386902m²