Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25097 / 42526
↖ ↑ ↗
← S 47.152369°
W 42.138061°		 ← 415.37 m → S 47.152369°
W 42.132568°		 →
↑
415.39 m
↓
↑
415.39 m
↓
S 47.156105°
W 42.138061°		 ← 415.34 m →
172 533 m²		 S 47.156105°
W 42.132568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382957458496094 y=0.648902893066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382957458496094 × 216)
    floor (0.382957458496094 × 65536)
    floor (25097.5)     		tx = 25097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648902893066406 × 216)
    floor (0.648902893066406 × 65536)
    floor (42526.5)     		ty = 42526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25097 / 42526 ti = "16/25097/42526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25097/42526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25097 ÷ 216
    25097 ÷ 65536     		x = 0.382949829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42526 ÷ 216
    42526 ÷ 65536     		y = 0.648895263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382949829101562 × 2 - 1) × π
    -0.234100341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73544791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648895263671875 × 2 - 1) × π
    -0.29779052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.935536532985016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73544791} λ = -0.73544791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935536532985016))-π/2
    2×atan(0.392375286761489)-π/2
    2×0.373916116428738-π/2
    0.747832232857476-1.57079632675     		φ = -0.82296409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73544791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.138061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82296409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.152369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25097 KachelY 42526 -0.73544791 -0.82296409 -42.138061 -47.152369
    Oben rechts KachelX + 1 25098 KachelY 42526 -0.73535204 -0.82296409 -42.132568 -47.152369
    Unten links KachelX 25097 KachelY + 1 42527 -0.73544791 -0.82302929 -42.138061 -47.156105
    Unten rechts KachelX + 1 25098 KachelY + 1 42527 -0.73535204 -0.82302929 -42.132568 -47.156105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82296409--0.82302929) × R
    6.51999999999875e-05 × 6371000     		dl = 415.38919999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82296409--0.82302929) × R
    6.51999999999875e-05 × 6371000     		dr = 415.38919999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73544791--0.73535204) × cos(-0.82296409) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680051031481173 × 6371000     		do = 415.366853004576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73544791--0.73535204) × cos(-0.82302929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680003227692091 × 6371000     		du = 415.337655034845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82296409)-sin(-0.82302929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680051031481173-0.680003227692091)×R²
    abs(-0.73535204--0.73544791)×4.78037890818683e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78037890818683e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78037890818683e-05×40589641000000     		ar = 172532.840576348m²