Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25097 / 25380
↖ ↑ ↗
← S 69.794136°
E 95.723877°		 ← 421.93 m → S 69.794136°
E 95.734863°		 →
↑
421.89 m
↓
↑
421.89 m
↓
S 69.797930°
E 95.723877°		 ← 421.85 m →
177 989 m²		 S 69.797930°
E 95.734863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765914916992188 y=0.774551391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765914916992188 × 215)
    floor (0.765914916992188 × 32768)
    floor (25097.5)     		tx = 25097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774551391601562 × 215)
    floor (0.774551391601562 × 32768)
    floor (25380.5)     		ty = 25380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25097 / 25380 ti = "15/25097/25380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25097/25380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25097 ÷ 215
    25097 ÷ 32768     		x = 0.765899658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25380 ÷ 215
    25380 ÷ 32768     		y = 0.7745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765899658203125 × 2 - 1) × π
    0.53179931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67069683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7249613959281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67069683} λ = 1.67069683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7249613959281))-π/2
    2×atan(0.178179930110965)-π/2
    2×0.17632943014355-π/2
    0.3526588602871-1.57079632675     		φ = -1.21813747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67069683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.723877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21813747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.794136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25097 KachelY 25380 1.67069683 -1.21813747 95.723877 -69.794136
    Oben rechts KachelX + 1 25098 KachelY 25380 1.67088857 -1.21813747 95.734863 -69.794136
    Unten links KachelX 25097 KachelY + 1 25381 1.67069683 -1.21820369 95.723877 -69.797930
    Unten rechts KachelX + 1 25098 KachelY + 1 25381 1.67088857 -1.21820369 95.734863 -69.797930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21813747--1.21820369) × R
    6.62199999998947e-05 × 6371000     		dl = 421.887619999329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21813747--1.21820369) × R
    6.62199999998947e-05 × 6371000     		dr = 421.887619999329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67069683-1.67088857) × cos(-1.21813747) × R
    0.000191739999999996 × 0.345394249972427 × 6371000     		do = 421.925167422954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67069683-1.67088857) × cos(-1.21820369) × R
    0.000191739999999996 × 0.34533210454779 × 6371000     		du = 421.849252092294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21813747)-sin(-1.21820369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345394249972427-0.34533210454779)×R²
    abs(1.67088857-1.67069683)×6.21454246375053e-05×R²
    0.000191739999999996×6.21454246375053e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.21454246375053e-05×40589641000000     		ar = 177988.990897413m²