Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25097 / 24894
↖ ↑ ↗
← S 67.867265°
E 95.723877°		 ← 460.23 m → S 67.867265°
E 95.734863°		 →
↑
460.24 m
↓
↑
460.24 m
↓
S 67.871404°
E 95.723877°		 ← 460.15 m →
211 799 m²		 S 67.871404°
E 95.734863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765914916992188 y=0.759719848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765914916992188 × 215)
    floor (0.765914916992188 × 32768)
    floor (25097.5)     		tx = 25097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759719848632812 × 215)
    floor (0.759719848632812 × 32768)
    floor (24894.5)     		ty = 24894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25097 / 24894 ti = "15/25097/24894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25097/24894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25097 ÷ 215
    25097 ÷ 32768     		x = 0.765899658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24894 ÷ 215
    24894 ÷ 32768     		y = 0.75970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765899658203125 × 2 - 1) × π
    0.53179931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67069683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75970458984375 × 2 - 1) × π
    -0.5194091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63177206306671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67069683} λ = 1.67069683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63177206306671))-π/2
    2×atan(0.19558268201305)-π/2
    2×0.193144553130583-π/2
    0.386289106261166-1.57079632675     		φ = -1.18450722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67069683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.723877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18450722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.867265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25097 KachelY 24894 1.67069683 -1.18450722 95.723877 -67.867265
    Oben rechts KachelX + 1 25098 KachelY 24894 1.67088857 -1.18450722 95.734863 -67.867265
    Unten links KachelX 25097 KachelY + 1 24895 1.67069683 -1.18457946 95.723877 -67.871404
    Unten rechts KachelX + 1 25098 KachelY + 1 24895 1.67088857 -1.18457946 95.734863 -67.871404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18450722--1.18457946) × R
    7.22399999999457e-05 × 6371000     		dl = 460.241039999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18450722--1.18457946) × R
    7.22399999999457e-05 × 6371000     		dr = 460.241039999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67069683-1.67088857) × cos(-1.18450722) × R
    0.000191739999999996 × 0.376753566522303 × 6371000     		do = 460.232941471398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67069683-1.67088857) × cos(-1.18457946) × R
    0.000191739999999996 × 0.376686648650111 × 6371000     		du = 460.15119623554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18450722)-sin(-1.18457946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376753566522303-0.376686648650111)×R²
    abs(1.67088857-1.67069683)×6.69178721912078e-05×R²
    0.000191739999999996×6.69178721912078e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.69178721912078e-05×40589641000000     		ar = 211799.276460726m²