Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25094 / 35332
↖ ↑ ↗
← N 63.543658°
W111.077270°		 ← 136.04 m → N 63.543658°
W111.074524°		 →
↑
136.02 m
↓
↑
136.02 m
↓
N 63.542435°
W111.077270°		 ← 136.05 m →
18 505 m²		 N 63.542435°
W111.074524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191455841064453 y=0.269565582275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191455841064453 × 217)
    floor (0.191455841064453 × 131072)
    floor (25094.5)     		tx = 25094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269565582275391 × 217)
    floor (0.269565582275391 × 131072)
    floor (35332.5)     		ty = 35332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25094 / 35332 ti = "17/25094/35332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25094/35332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25094 ÷ 217
    25094 ÷ 131072     		x = 0.191452026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35332 ÷ 217
    35332 ÷ 131072     		y = 0.269561767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.191452026367188 × 2 - 1) × π
    -0.617095947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.93866409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269561767578125 × 2 - 1) × π
    0.46087646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44788611612418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93866409} λ = -1.93866409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44788611612418))-π/2
    2×atan(4.25411230430081)-π/2
    2×1.33992118942767-π/2
    2.67984237885535-1.57079632675     		φ = 1.10904605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93866409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.077270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10904605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.543658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25094 KachelY 35332 -1.93866409 1.10904605 -111.077270 63.543658
    Oben rechts KachelX + 1 25095 KachelY 35332 -1.93861616 1.10904605 -111.074524 63.543658
    Unten links KachelX 25094 KachelY + 1 35333 -1.93866409 1.10902470 -111.077270 63.542435
    Unten rechts KachelX + 1 25095 KachelY + 1 35333 -1.93861616 1.10902470 -111.074524 63.542435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10904605-1.10902470) × R
    2.134999999992e-05 × 6371000     		dl = 136.020849999491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10904605-1.10902470) × R
    2.134999999992e-05 × 6371000     		dr = 136.020849999491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93866409--1.93861616) × cos(1.10904605) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445515766047761 × 6371000     		do = 136.043598717433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93866409--1.93861616) × cos(1.10902470) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445534880048114 × 6371000     		du = 136.049435407382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10904605)-sin(1.10902470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445515766047761-0.445534880048114)×R²
    abs(-1.93861616--1.93866409)×1.91140003531487e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91140003531487e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91140003531487e-05×40589641000000     		ar = 18505.1628911366m²