Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25086 / 25355
↖ ↑ ↗
← S 69.699056°
E 95.603027°		 ← 423.85 m → S 69.699056°
E 95.614014°		 →
↑
423.86 m
↓
↑
423.86 m
↓
S 69.702868°
E 95.603027°		 ← 423.77 m →
179 638 m²		 S 69.702868°
E 95.614014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765579223632812 y=0.773788452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765579223632812 × 215)
    floor (0.765579223632812 × 32768)
    floor (25086.5)     		tx = 25086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773788452148438 × 215)
    floor (0.773788452148438 × 32768)
    floor (25355.5)     		ty = 25355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25086 / 25355 ti = "15/25086/25355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25086/25355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25086 ÷ 215
    25086 ÷ 32768     		x = 0.76556396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25355 ÷ 215
    25355 ÷ 32768     		y = 0.773773193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76556396484375 × 2 - 1) × π
    0.5311279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66858760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773773193359375 × 2 - 1) × π
    -0.54754638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72016770596609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66858760} λ = 1.66858760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72016770596609))-π/2
    2×atan(0.179036119968166)-π/2
    2×0.177159151169742-π/2
    0.354318302339485-1.57079632675     		φ = -1.21647802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66858760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.603027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21647802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.699056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25086 KachelY 25355 1.66858760 -1.21647802 95.603027 -69.699056
    Oben rechts KachelX + 1 25087 KachelY 25355 1.66877935 -1.21647802 95.614014 -69.699056
    Unten links KachelX 25086 KachelY + 1 25356 1.66858760 -1.21654455 95.603027 -69.702868
    Unten rechts KachelX + 1 25087 KachelY + 1 25356 1.66877935 -1.21654455 95.614014 -69.702868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21647802--1.21654455) × R
    6.65300000000091e-05 × 6371000     		dl = 423.862630000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21647802--1.21654455) × R
    6.65300000000091e-05 × 6371000     		dr = 423.862630000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66858760-1.66877935) × cos(-1.21647802) × R
    0.000191750000000157 × 0.346951097281477 × 6371000     		do = 423.849078269967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66858760-1.66877935) × cos(-1.21654455) × R
    0.000191750000000157 × 0.34688869914299 × 6371000     		du = 423.772850254865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21647802)-sin(-1.21654455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346951097281477-0.34688869914299)×R²
    abs(1.66877935-1.66858760)×6.23981384867967e-05×R²
    0.000191750000000157×6.23981384867967e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.23981384867967e-05×40589641000000     		ar = 179637.630001215m²