Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25085 / 24325
↖ ↑ ↗
← S 65.389723°
E 95.592041°		 ← 508.74 m → S 65.389723°
E 95.603027°		 →
↑
508.72 m
↓
↑
508.72 m
↓
S 65.394298°
E 95.592041°		 ← 508.66 m →
258 788 m²		 S 65.394298°
E 95.603027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765548706054688 y=0.742355346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765548706054688 × 215)
    floor (0.765548706054688 × 32768)
    floor (25085.5)     		tx = 25085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742355346679688 × 215)
    floor (0.742355346679688 × 32768)
    floor (24325.5)     		ty = 24325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25085 / 24325 ti = "15/25085/24325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25085/24325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25085 ÷ 215
    25085 ÷ 32768     		x = 0.765533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24325 ÷ 215
    24325 ÷ 32768     		y = 0.742340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765533447265625 × 2 - 1) × π
    0.53106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66839585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742340087890625 × 2 - 1) × π
    -0.48468017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52266767953146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66839585} λ = 1.66839585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52266767953146))-π/2
    2×atan(0.218129211269652)-π/2
    2×0.214765183408055-π/2
    0.429530366816109-1.57079632675     		φ = -1.14126596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66839585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.592041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14126596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.389723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25085 KachelY 24325 1.66839585 -1.14126596 95.592041 -65.389723
    Oben rechts KachelX + 1 25086 KachelY 24325 1.66858760 -1.14126596 95.603027 -65.389723
    Unten links KachelX 25085 KachelY + 1 24326 1.66839585 -1.14134581 95.592041 -65.394298
    Unten rechts KachelX + 1 25086 KachelY + 1 24326 1.66858760 -1.14134581 95.603027 -65.394298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14126596--1.14134581) × R
    7.98500000001034e-05 × 6371000     		dl = 508.724350000659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14126596--1.14134581) × R
    7.98500000001034e-05 × 6371000     		dr = 508.724350000659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66839585-1.66858760) × cos(-1.14126596) × R
    0.000191749999999935 × 0.416443875975012 × 6371000     		do = 508.744184313034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66839585-1.66858760) × cos(-1.14134581) × R
    0.000191749999999935 × 0.416371278107611 × 6371000     		du = 508.655495908751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14126596)-sin(-1.14134581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416443875975012-0.416371278107611)×R²
    abs(1.66858760-1.66839585)×7.25978674008254e-05×R²
    0.000191749999999935×7.25978674008254e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.25978674008254e-05×40589641000000     		ar = 258787.995643806m²