Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25082 / 29034
↖ ↑ ↗
← N 20.086888°
W 42.220459°		 ← 573.64 m → N 20.086888°
W 42.214966°		 →
↑
573.64 m
↓
↑
573.64 m
↓
N 20.081730°
W 42.220459°		 ← 573.65 m →
329 068 m²		 N 20.081730°
W 42.214966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382728576660156 y=0.443031311035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382728576660156 × 216)
    floor (0.382728576660156 × 65536)
    floor (25082.5)     		tx = 25082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443031311035156 × 216)
    floor (0.443031311035156 × 65536)
    floor (29034.5)     		ty = 29034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25082 / 29034 ti = "16/25082/29034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25082/29034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25082 ÷ 216
    25082 ÷ 65536     		x = 0.382720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29034 ÷ 216
    29034 ÷ 65536     		y = 0.443023681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382720947265625 × 2 - 1) × π
    -0.23455810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73688602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443023681640625 × 2 - 1) × π
    0.11395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.357992766362579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73688602} λ = -0.73688602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357992766362579))-π/2
    2×atan(1.43045527304768)-π/2
    2×0.960689333844165-π/2
    1.92137866768833-1.57079632675     		φ = 0.35058234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73688602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.220459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35058234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.086888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25082 KachelY 29034 -0.73688602 0.35058234 -42.220459 20.086888
    Oben rechts KachelX + 1 25083 KachelY 29034 -0.73679015 0.35058234 -42.214966 20.086888
    Unten links KachelX 25082 KachelY + 1 29035 -0.73688602 0.35049230 -42.220459 20.081730
    Unten rechts KachelX + 1 25083 KachelY + 1 29035 -0.73679015 0.35049230 -42.214966 20.081730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35058234-0.35049230) × R
    9.00400000000134e-05 × 6371000     		dl = 573.644840000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35058234-0.35049230) × R
    9.00400000000134e-05 × 6371000     		dr = 573.644840000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73688602--0.73679015) × cos(0.35058234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939172870469497 × 6371000     		do = 573.63530319855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73688602--0.73679015) × cos(0.35049230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939203790430738 × 6371000     		du = 573.654188732725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35058234)-sin(0.35049230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939172870469497-0.939203790430738)×R²
    abs(-0.73679015--0.73688602)×3.09199612406053e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09199612406053e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09199612406053e-05×40589641000000     		ar = 329068.348738593m²