Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25082 / 25358
↖ ↑ ↗
← S 69.710489°
E 95.559082°		 ← 423.62 m → S 69.710489°
E 95.570068°		 →
↑
423.61 m
↓
↑
423.61 m
↓
S 69.714298°
E 95.559082°		 ← 423.54 m →
179 433 m²		 S 69.714298°
E 95.570068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765457153320312 y=0.773880004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765457153320312 × 215)
    floor (0.765457153320312 × 32768)
    floor (25082.5)     		tx = 25082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773880004882812 × 215)
    floor (0.773880004882812 × 32768)
    floor (25358.5)     		ty = 25358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25082 / 25358 ti = "15/25082/25358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25082/25358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25082 ÷ 215
    25082 ÷ 32768     		x = 0.76544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25358 ÷ 215
    25358 ÷ 32768     		y = 0.77386474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76544189453125 × 2 - 1) × π
    0.5308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66782061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77386474609375 × 2 - 1) × π
    -0.5477294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72074294876154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66782061} λ = 1.66782061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72074294876154))-π/2
    2×atan(0.17893316034626)-π/2
    2×0.177059387526256-π/2
    0.354118775052511-1.57079632675     		φ = -1.21667755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66782061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.559082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21667755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.710489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25082 KachelY 25358 1.66782061 -1.21667755 95.559082 -69.710489
    Oben rechts KachelX + 1 25083 KachelY 25358 1.66801236 -1.21667755 95.570068 -69.710489
    Unten links KachelX 25082 KachelY + 1 25359 1.66782061 -1.21674404 95.559082 -69.714298
    Unten rechts KachelX + 1 25083 KachelY + 1 25359 1.66801236 -1.21674404 95.570068 -69.714298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21667755--1.21674404) × R
    6.64900000000301e-05 × 6371000     		dl = 423.607790000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21667755--1.21674404) × R
    6.64900000000301e-05 × 6371000     		dr = 423.607790000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66782061-1.66801236) × cos(-1.21667755) × R
    0.000191750000000157 × 0.3467639545372 × 6371000     		do = 423.620457348206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66782061-1.66801236) × cos(-1.21674404) × R
    0.000191750000000157 × 0.346701589313707 × 6371000     		du = 423.544269543352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21667755)-sin(-1.21674404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3467639545372-0.346701589313707)×R²
    abs(1.66801236-1.66782061)×6.23652234933436e-05×R²
    0.000191750000000157×6.23652234933436e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.23652234933436e-05×40589641000000     		ar = 179432.788927955m²