Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25082 / 24326
↖ ↑ ↗
← S 65.394298°
E 95.559082°		 ← 508.66 m → S 65.394298°
E 95.570068°		 →
↑
508.60 m
↓
↑
508.60 m
↓
S 65.398872°
E 95.559082°		 ← 508.57 m →
258 678 m²		 S 65.398872°
E 95.570068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765457153320312 y=0.742385864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765457153320312 × 215)
    floor (0.765457153320312 × 32768)
    floor (25082.5)     		tx = 25082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742385864257812 × 215)
    floor (0.742385864257812 × 32768)
    floor (24326.5)     		ty = 24326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25082 / 24326 ti = "15/25082/24326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25082/24326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25082 ÷ 215
    25082 ÷ 32768     		x = 0.76544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24326 ÷ 215
    24326 ÷ 32768     		y = 0.74237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76544189453125 × 2 - 1) × π
    0.5308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66782061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74237060546875 × 2 - 1) × π
    -0.4847412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52285942712994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66782061} λ = 1.66782061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52285942712994))-π/2
    2×atan(0.21808738952697)-π/2
    2×0.214725260831478-π/2
    0.429450521662956-1.57079632675     		φ = -1.14134581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66782061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.559082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14134581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.394298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25082 KachelY 24326 1.66782061 -1.14134581 95.559082 -65.394298
    Oben rechts KachelX + 1 25083 KachelY 24326 1.66801236 -1.14134581 95.570068 -65.394298
    Unten links KachelX 25082 KachelY + 1 24327 1.66782061 -1.14142564 95.559082 -65.398872
    Unten rechts KachelX + 1 25083 KachelY + 1 24327 1.66801236 -1.14142564 95.570068 -65.398872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14134581--1.14142564) × R
    7.9830000000003e-05 × 6371000     		dl = 508.596930000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14134581--1.14142564) × R
    7.9830000000003e-05 × 6371000     		dr = 508.596930000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66782061-1.66801236) × cos(-1.14134581) × R
    0.000191750000000157 × 0.416371278107611 × 6371000     		do = 508.65549590934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66782061-1.66801236) × cos(-1.14142564) × R
    0.000191750000000157 × 0.416298695769976 × 6371000     		du = 508.566826476829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14134581)-sin(-1.14142564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416371278107611-0.416298695769976)×R²
    abs(1.66801236-1.66782061)×7.25823376350743e-05×R²
    0.000191750000000157×7.25823376350743e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.25823376350743e-05×40589641000000     		ar = 258678.075283995m²