Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25081 / 25383
↖ ↑ ↗
← S 69.805517°
E 95.548095°		 ← 421.72 m → S 69.805517°
E 95.559082°		 →
↑
421.70 m
↓
↑
421.70 m
↓
S 69.809309°
E 95.548095°		 ← 421.64 m →
177 822 m²		 S 69.809309°
E 95.559082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765426635742188 y=0.774642944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765426635742188 × 215)
    floor (0.765426635742188 × 32768)
    floor (25081.5)     		tx = 25081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774642944335938 × 215)
    floor (0.774642944335938 × 32768)
    floor (25383.5)     		ty = 25383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25081 / 25383 ti = "15/25081/25383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25081/25383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25081 ÷ 215
    25081 ÷ 32768     		x = 0.765411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25383 ÷ 215
    25383 ÷ 32768     		y = 0.774627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765411376953125 × 2 - 1) × π
    0.53082275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66762886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.54925537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72553663872354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66762886} λ = 1.66762886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72553663872354))-π/2
    2×atan(0.178077462864474)-π/2
    2×0.176230114176147-π/2
    0.352460228352295-1.57079632675     		φ = -1.21833610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66762886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.548095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21833610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.805517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25081 KachelY 25383 1.66762886 -1.21833610 95.548095 -69.805517
    Oben rechts KachelX + 1 25082 KachelY 25383 1.66782061 -1.21833610 95.559082 -69.805517
    Unten links KachelX 25081 KachelY + 1 25384 1.66762886 -1.21840229 95.548095 -69.809309
    Unten rechts KachelX + 1 25082 KachelY + 1 25384 1.66782061 -1.21840229 95.559082 -69.809309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21833610--1.21840229) × R
    6.6190000000077e-05 × 6371000     		dl = 421.696490000491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21833610--1.21840229) × R
    6.6190000000077e-05 × 6371000     		dr = 421.696490000491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66762886-1.66782061) × cos(-1.21833610) × R
    0.000191749999999935 × 0.34520783731164 × 6371000     		do = 421.719443467371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66762886-1.66782061) × cos(-1.21840229) × R
    0.000191749999999935 × 0.345145715502044 × 6371000     		du = 421.643553026487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21833610)-sin(-1.21840229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34520783731164-0.345145715502044)×R²
    abs(1.66782061-1.66762886)×6.2121809596305e-05×R²
    0.000191749999999935×6.2121809596305e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.2121809596305e-05×40589641000000     		ar = 177821.607774188m²