Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25080 / 25386
↖ ↑ ↗
← S 69.816891°
E 95.537110°		 ← 421.47 m → S 69.816891°
E 95.548095°		 →
↑
421.44 m
↓
↑
421.44 m
↓
S 69.820681°
E 95.537110°		 ← 421.39 m →
177 609 m²		 S 69.820681°
E 95.548095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765396118164062 y=0.774734497070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765396118164062 × 215)
    floor (0.765396118164062 × 32768)
    floor (25080.5)     		tx = 25080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774734497070312 × 215)
    floor (0.774734497070312 × 32768)
    floor (25386.5)     		ty = 25386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25080 / 25386 ti = "15/25080/25386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25080/25386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25080 ÷ 215
    25080 ÷ 32768     		x = 0.765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25386 ÷ 215
    25386 ÷ 32768     		y = 0.77471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765380859375 × 2 - 1) × π
    0.53076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66743712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.5494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72611188151898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66743712} λ = 1.66743712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72611188151898))-π/2
    2×atan(0.177975054544579)-π/2
    2×0.176130851813024-π/2
    0.352261703626049-1.57079632675     		φ = -1.21853462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66743712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.537110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21853462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25080 KachelY 25386 1.66743712 -1.21853462 95.537110 -69.816891
    Oben rechts KachelX + 1 25081 KachelY 25386 1.66762886 -1.21853462 95.548095 -69.816891
    Unten links KachelX 25080 KachelY + 1 25387 1.66743712 -1.21860077 95.537110 -69.820681
    Unten rechts KachelX + 1 25081 KachelY + 1 25387 1.66762886 -1.21860077 95.548095 -69.820681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21853462--1.21860077) × R
    6.61500000000981e-05 × 6371000     		dl = 421.441650000625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21853462--1.21860077) × R
    6.61500000000981e-05 × 6371000     		dr = 421.441650000625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66743712-1.66762886) × cos(-1.21853462) × R
    0.000191739999999996 × 0.345021514276492 × 6371000     		do = 421.469842613914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66743712-1.66762886) × cos(-1.21860077) × R
    0.000191739999999996 × 0.344959425477188 × 6371000     		du = 421.393996455376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21853462)-sin(-1.21860077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345021514276492-0.344959425477188)×R²
    abs(1.66762886-1.66743712)×6.20887993042496e-05×R²
    0.000191739999999996×6.20887993042496e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.20887993042496e-05×40589641000000     		ar = 177608.963595698m²