Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25078 / 24946
↖ ↑ ↗
← S 68.081508°
E 95.515137°		 ← 456.02 m → S 68.081508°
E 95.526123°		 →
↑
455.97 m
↓
↑
455.97 m
↓
S 68.085609°
E 95.515137°		 ← 455.94 m →
207 915 m²		 S 68.085609°
E 95.526123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765335083007812 y=0.761306762695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765335083007812 × 215)
    floor (0.765335083007812 × 32768)
    floor (25078.5)     		tx = 25078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761306762695312 × 215)
    floor (0.761306762695312 × 32768)
    floor (24946.5)     		ty = 24946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25078 / 24946 ti = "15/25078/24946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25078/24946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25078 ÷ 215
    25078 ÷ 32768     		x = 0.76531982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24946 ÷ 215
    24946 ÷ 32768     		y = 0.76129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76531982421875 × 2 - 1) × π
    0.5306396484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66705362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76129150390625 × 2 - 1) × π
    -0.5225830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64174293818768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66705362} λ = 1.66705362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64174293818768))-π/2
    2×atan(0.193642241535968)-π/2
    2×0.191274923525396-π/2
    0.382549847050793-1.57079632675     		φ = -1.18824648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66705362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.515137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18824648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.081508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25078 KachelY 24946 1.66705362 -1.18824648 95.515137 -68.081508
    Oben rechts KachelX + 1 25079 KachelY 24946 1.66724537 -1.18824648 95.526123 -68.081508
    Unten links KachelX 25078 KachelY + 1 24947 1.66705362 -1.18831805 95.515137 -68.085609
    Unten rechts KachelX + 1 25079 KachelY + 1 24947 1.66724537 -1.18831805 95.526123 -68.085609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18824648--1.18831805) × R
    7.15699999997987e-05 × 6371000     		dl = 455.972469998718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18824648--1.18831805) × R
    7.15699999997987e-05 × 6371000     		dr = 455.972469998718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66705362-1.66724537) × cos(-1.18824648) × R
    0.000191750000000157 × 0.373287213581963 × 6371000     		do = 456.022311635233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66705362-1.66724537) × cos(-1.18831805) × R
    0.000191750000000157 × 0.373220816004224 × 6371000     		du = 455.941197748162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18824648)-sin(-1.18831805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373287213581963-0.373220816004224)×R²
    abs(1.66724537-1.66705362)×6.63975777391856e-05×R²
    0.000191750000000157×6.63975777391856e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.63975777391856e-05×40589641000000     		ar = 207915.127049999m²