Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25077 / 25497
↖ ↑ ↗
← S 70.233460°
E 95.504150°		 ← 413.14 m → S 70.233460°
E 95.515137°		 →
↑
413.10 m
↓
↑
413.10 m
↓
S 70.237176°
E 95.504150°		 ← 413.07 m →
170 653 m²		 S 70.237176°
E 95.515137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765304565429688 y=0.778121948242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765304565429688 × 215)
    floor (0.765304565429688 × 32768)
    floor (25077.5)     		tx = 25077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778121948242188 × 215)
    floor (0.778121948242188 × 32768)
    floor (25497.5)     		ty = 25497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25077 / 25497 ti = "15/25077/25497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25077/25497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25077 ÷ 215
    25077 ÷ 32768     		x = 0.765289306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25497 ÷ 215
    25497 ÷ 32768     		y = 0.778106689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765289306640625 × 2 - 1) × π
    0.53057861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66686187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778106689453125 × 2 - 1) × π
    -0.55621337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74739586495029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66686187} λ = 1.66686187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74739586495029))-π/2
    2×atan(0.174227064004799)-π/2
    2×0.172495599932441-π/2
    0.344991199864882-1.57079632675     		φ = -1.22580513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66686187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.504150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22580513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.233460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25077 KachelY 25497 1.66686187 -1.22580513 95.504150 -70.233460
    Oben rechts KachelX + 1 25078 KachelY 25497 1.66705362 -1.22580513 95.515137 -70.233460
    Unten links KachelX 25077 KachelY + 1 25498 1.66686187 -1.22586997 95.504150 -70.237176
    Unten rechts KachelX + 1 25078 KachelY + 1 25498 1.66705362 -1.22586997 95.515137 -70.237176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22580513--1.22586997) × R
    6.4840000000066e-05 × 6371000     		dl = 413.09564000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22580513--1.22586997) × R
    6.4840000000066e-05 × 6371000     		dr = 413.09564000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66686187-1.66705362) × cos(-1.22580513) × R
    0.000191749999999935 × 0.33818839275446 × 6371000     		do = 413.144214483124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66686187-1.66705362) × cos(-1.22586997) × R
    0.000191749999999935 × 0.338127372518205 × 6371000     		du = 413.069669767471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22580513)-sin(-1.22586997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33818839275446-0.338127372518205)×R²
    abs(1.66705362-1.66686187)×6.10202362547052e-05×R²
    0.000191749999999935×6.10202362547052e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.10202362547052e-05×40589641000000     		ar = 170652.676705501m²