Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25075 / 29137
↖ ↑ ↗
← N 19.554614°
W 42.258911°		 ← 575.62 m → N 19.554614°
W 42.253418°		 →
↑
575.62 m
↓
↑
575.62 m
↓
N 19.549437°
W 42.258911°		 ← 575.64 m →
331 343 m²		 N 19.549437°
W 42.253418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382621765136719 y=0.444602966308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382621765136719 × 216)
    floor (0.382621765136719 × 65536)
    floor (25075.5)     		tx = 25075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444602966308594 × 216)
    floor (0.444602966308594 × 65536)
    floor (29137.5)     		ty = 29137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25075 / 29137 ti = "16/25075/29137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25075/29137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25075 ÷ 216
    25075 ÷ 65536     		x = 0.382614135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29137 ÷ 216
    29137 ÷ 65536     		y = 0.444595336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382614135742188 × 2 - 1) × π
    -0.234771728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73755714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444595336914062 × 2 - 1) × π
    0.110809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.348117765040848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73755714} λ = -0.73755714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348117765040848))-π/2
    2×atan(1.41639904220973)-π/2
    2×0.956044361520733-π/2
    1.91208872304147-1.57079632675     		φ = 0.34129240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73755714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.258911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34129240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.554614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25075 KachelY 29137 -0.73755714 0.34129240 -42.258911 19.554614
    Oben rechts KachelX + 1 25076 KachelY 29137 -0.73746126 0.34129240 -42.253418 19.554614
    Unten links KachelX 25075 KachelY + 1 29138 -0.73755714 0.34120205 -42.258911 19.549437
    Unten rechts KachelX + 1 25076 KachelY + 1 29138 -0.73746126 0.34120205 -42.253418 19.549437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34129240-0.34120205) × R
    9.03500000000168e-05 × 6371000     		dl = 575.619850000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34129240-0.34120205) × R
    9.03500000000168e-05 × 6371000     		dr = 575.619850000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73755714--0.73746126) × cos(0.34129240) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.942322879590053 × 6371000     		do = 575.619325635735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73755714--0.73746126) × cos(0.34120205) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.942353116361341 × 6371000     		du = 575.637795812226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34129240)-sin(0.34120205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942322879590053-0.942353116361341)×R²
    abs(-0.73746126--0.73755714)×3.02367712884388e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.02367712884388e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.02367712884388e-05×40589641000000     		ar = 331343.226005042m²