Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25075 / 25479
↖ ↑ ↗
← S 70.166474°
E 95.482178°		 ← 414.49 m → S 70.166474°
E 95.493164°		 →
↑
414.43 m
↓
↑
414.43 m
↓
S 70.170201°
E 95.482178°		 ← 414.41 m →
171 762 m²		 S 70.170201°
E 95.493164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765243530273438 y=0.777572631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765243530273438 × 215)
    floor (0.765243530273438 × 32768)
    floor (25075.5)     		tx = 25075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777572631835938 × 215)
    floor (0.777572631835938 × 32768)
    floor (25479.5)     		ty = 25479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25075 / 25479 ti = "15/25075/25479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25075/25479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25075 ÷ 215
    25075 ÷ 32768     		x = 0.765228271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25479 ÷ 215
    25479 ÷ 32768     		y = 0.777557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765228271484375 × 2 - 1) × π
    0.53045654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66647838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.55511474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74394440817764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66647838} λ = 1.66647838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74394440817764))-π/2
    2×atan(0.174829440124419)-π/2
    2×0.173080169968427-π/2
    0.346160339936853-1.57079632675     		φ = -1.22463599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66647838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.482178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22463599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.166474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25075 KachelY 25479 1.66647838 -1.22463599 95.482178 -70.166474
    Oben rechts KachelX + 1 25076 KachelY 25479 1.66667013 -1.22463599 95.493164 -70.166474
    Unten links KachelX 25075 KachelY + 1 25480 1.66647838 -1.22470104 95.482178 -70.170201
    Unten rechts KachelX + 1 25076 KachelY + 1 25480 1.66667013 -1.22470104 95.493164 -70.170201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22463599--1.22470104) × R
    6.5050000000122e-05 × 6371000     		dl = 414.433550000777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22463599--1.22470104) × R
    6.5050000000122e-05 × 6371000     		dr = 414.433550000777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66647838-1.66667013) × cos(-1.22463599) × R
    0.000191749999999935 × 0.339288413806346 × 6371000     		do = 414.488043375934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66647838-1.66667013) × cos(-1.22470104) × R
    0.000191749999999935 × 0.339227221698606 × 6371000     		du = 414.413288695328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22463599)-sin(-1.22470104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339288413806346-0.339227221698606)×R²
    abs(1.66667013-1.66647838)×6.11921077396937e-05×R²
    0.000191749999999935×6.11921077396937e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.11921077396937e-05×40589641000000     		ar = 171762.260885673m²