Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2507 / 4579
↖ ↑ ↗
← N 61.907926°
W124.914551°		 ← 1 150.49 m → N 61.907926°
W124.892578°		 →
↑
1 150.67 m
↓
↑
1 150.67 m
↓
N 61.897578°
W124.914551°		 ← 1 150.87 m →
1 324 048 m²		 N 61.897578°
W124.892578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153045654296875 y=0.279510498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153045654296875 × 214)
    floor (0.153045654296875 × 16384)
    floor (2507.5)     		tx = 2507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.279510498046875 × 214)
    floor (0.279510498046875 × 16384)
    floor (4579.5)     		ty = 4579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2507 / 4579 ti = "14/2507/4579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2507/4579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2507 ÷ 214
    2507 ÷ 16384     		x = 0.15301513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4579 ÷ 214
    4579 ÷ 16384     		y = 0.27947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15301513671875 × 2 - 1) × π
    -0.6939697265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.18017019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27947998046875 × 2 - 1) × π
    0.4410400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.3855681466181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18017019} λ = -2.18017019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3855681466181))-π/2
    2×atan(3.99709619651257)-π/2
    2×1.32564673491314-π/2
    2.65129346982628-1.57079632675     		φ = 1.08049714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18017019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.914551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08049714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.907926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2507 KachelY 4579 -2.18017019 1.08049714 -124.914551 61.907926
    Oben rechts KachelX + 1 2508 KachelY 4579 -2.17978670 1.08049714 -124.892578 61.907926
    Unten links KachelX 2507 KachelY + 1 4580 -2.18017019 1.08031653 -124.914551 61.897578
    Unten rechts KachelX + 1 2508 KachelY + 1 4580 -2.17978670 1.08031653 -124.892578 61.897578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08049714-1.08031653) × R
    0.000180610000000136 × 6371000     		dl = 1150.66631000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08049714-1.08031653) × R
    0.000180610000000136 × 6371000     		dr = 1150.66631000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18017019--2.17978670) × cos(1.08049714) × R
    0.000383489999999931 × 0.470889849443713 × 6371000     		do = 1150.48504462155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18017019--2.17978670) × cos(1.08031653) × R
    0.000383489999999931 × 0.471049174462302 × 6371000     		du = 1150.87430986338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08049714)-sin(1.08031653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470889849443713-0.471049174462302)×R²
    abs(-2.17978670--2.18017019)×0.000159325018588452×R²
    0.000383489999999931×0.000159325018588452×6371000²
    0.000383489999999931×0.000159325018588452×40589641000000     		ar = 1324048.34180428m²