Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25069 / 57551
↖ ↑ ↗
← N 21.414719°
W111.145935°		 ← 284.34 m → N 21.414719°
W111.143188°		 →
↑
284.34 m
↓
↑
284.34 m
↓
N 21.412162°
W111.145935°		 ← 284.34 m →
80 849 m²		 N 21.412162°
W111.143188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191265106201172 y=0.439083099365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191265106201172 × 217)
    floor (0.191265106201172 × 131072)
    floor (25069.5)     		tx = 25069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439083099365234 × 217)
    floor (0.439083099365234 × 131072)
    floor (57551.5)     		ty = 57551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25069 / 57551 ti = "17/25069/57551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25069/57551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25069 ÷ 217
    25069 ÷ 131072     		x = 0.191261291503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57551 ÷ 217
    57551 ÷ 131072     		y = 0.439079284667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.191261291503906 × 2 - 1) × π
    -0.617477416992188 × 3.1415926535     		Λ = -1.93986252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439079284667969 × 2 - 1) × π
    0.121841430664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.382776143466148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93986252} λ = -1.93986252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382776143466148))-π/2
    2×atan(1.46634974135447)-π/2
    2×0.972276842744703-π/2
    1.94455368548941-1.57079632675     		φ = 0.37375736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93986252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.145935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37375736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.414719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25069 KachelY 57551 -1.93986252 0.37375736 -111.145935 21.414719
    Oben rechts KachelX + 1 25070 KachelY 57551 -1.93981458 0.37375736 -111.143188 21.414719
    Unten links KachelX 25069 KachelY + 1 57552 -1.93986252 0.37371273 -111.145935 21.412162
    Unten rechts KachelX + 1 25070 KachelY + 1 57552 -1.93981458 0.37371273 -111.143188 21.412162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37375736-0.37371273) × R
    4.462999999999e-05 × 6371000     		dl = 284.337729999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37375736-0.37371273) × R
    4.462999999999e-05 × 6371000     		dr = 284.337729999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93986252--1.93981458) × cos(0.37375736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930962048267203 × 6371000     		do = 284.33977250374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93986252--1.93981458) × cos(0.37371273) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930978342465356 × 6371000     		du = 284.344749171268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37375736)-sin(0.37371273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930962048267203-0.930978342465356)×R²
    abs(-1.93981458--1.93986252)×1.62941981539655e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62941981539655e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62941981539655e-05×40589641000000     		ar = 80849.2330029858m²