Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25069 / 24222
↖ ↑ ↗
← S 64.914227°
E 95.416260°		 ← 517.94 m → S 64.914227°
E 95.427246°		 →
↑
517.90 m
↓
↑
517.90 m
↓
S 64.918885°
E 95.416260°		 ← 517.85 m →
268 219 m²		 S 64.918885°
E 95.427246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765060424804688 y=0.739212036132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765060424804688 × 215)
    floor (0.765060424804688 × 32768)
    floor (25069.5)     		tx = 25069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739212036132812 × 215)
    floor (0.739212036132812 × 32768)
    floor (24222.5)     		ty = 24222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25069 / 24222 ti = "15/25069/24222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25069/24222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25069 ÷ 215
    25069 ÷ 32768     		x = 0.765045166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24222 ÷ 215
    24222 ÷ 32768     		y = 0.73919677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765045166015625 × 2 - 1) × π
    0.53009033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66532789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73919677734375 × 2 - 1) × π
    -0.4783935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.502917676888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66532789} λ = 1.66532789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.502917676888))-π/2
    2×atan(0.222480087249649)-π/2
    2×0.218914662653818-π/2
    0.437829325307635-1.57079632675     		φ = -1.13296700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66532789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.416260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13296700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.914227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25069 KachelY 24222 1.66532789 -1.13296700 95.416260 -64.914227
    Oben rechts KachelX + 1 25070 KachelY 24222 1.66551964 -1.13296700 95.427246 -64.914227
    Unten links KachelX 25069 KachelY + 1 24223 1.66532789 -1.13304829 95.416260 -64.918885
    Unten rechts KachelX + 1 25070 KachelY + 1 24223 1.66551964 -1.13304829 95.427246 -64.918885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13296700--1.13304829) × R
    8.12900000000116e-05 × 6371000     		dl = 517.898590000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13296700--1.13304829) × R
    8.12900000000116e-05 × 6371000     		dr = 517.898590000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66532789-1.66551964) × cos(-1.13296700) × R
    0.000191750000000157 × 0.423974542940537 × 6371000     		do = 517.943942657394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66532789-1.66551964) × cos(-1.13304829) × R
    0.000191750000000157 × 0.423900919291686 × 6371000     		du = 517.85400111823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13296700)-sin(-1.13304829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423974542940537-0.423900919291686)×R²
    abs(1.66551964-1.66532789)×7.3623648850718e-05×R²
    0.000191750000000157×7.3623648850718e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.3623648850718e-05×40589641000000     		ar = 268219.1474504m²