Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25066 / 24426
↖ ↑ ↗
← S 65.847768°
E 95.383301°		 ← 499.85 m → S 65.847768°
E 95.394287°		 →
↑
499.80 m
↓
↑
499.80 m
↓
S 65.852262°
E 95.383301°		 ← 499.76 m →
249 805 m²		 S 65.852262°
E 95.394287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764968872070312 y=0.745437622070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764968872070312 × 215)
    floor (0.764968872070312 × 32768)
    floor (25066.5)     		tx = 25066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745437622070312 × 215)
    floor (0.745437622070312 × 32768)
    floor (24426.5)     		ty = 24426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25066 / 24426 ti = "15/25066/24426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25066/24426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25066 ÷ 215
    25066 ÷ 32768     		x = 0.76495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24426 ÷ 215
    24426 ÷ 32768     		y = 0.74542236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76495361328125 × 2 - 1) × π
    0.5299072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66475265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.4908447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54203418697797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66475265} λ = 1.66475265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54203418697797))-π/2
    2×atan(0.2139454534271)-π/2
    2×0.210767987976747-π/2
    0.421535975953494-1.57079632675     		φ = -1.14926035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66475265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.383301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14926035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.847768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25066 KachelY 24426 1.66475265 -1.14926035 95.383301 -65.847768
    Oben rechts KachelX + 1 25067 KachelY 24426 1.66494440 -1.14926035 95.394287 -65.847768
    Unten links KachelX 25066 KachelY + 1 24427 1.66475265 -1.14933880 95.383301 -65.852262
    Unten rechts KachelX + 1 25067 KachelY + 1 24427 1.66494440 -1.14933880 95.394287 -65.852262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14926035--1.14933880) × R
    7.84499999999522e-05 × 6371000     		dl = 499.804949999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14926035--1.14933880) × R
    7.84499999999522e-05 × 6371000     		dr = 499.804949999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66475265-1.66494440) × cos(-1.14926035) × R
    0.000191749999999935 × 0.40916245493293 × 6371000     		do = 499.848914572254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66475265-1.66494440) × cos(-1.14933880) × R
    0.000191749999999935 × 0.409090871065105 × 6371000     		du = 499.761464909652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14926035)-sin(-1.14933880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40916245493293-0.409090871065105)×R²
    abs(1.66494440-1.66475265)×7.15838678246872e-05×R²
    0.000191749999999935×7.15838678246872e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.15838678246872e-05×40589641000000     		ar = 249805.107996137m²