Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25065 / 24901
↖ ↑ ↗
← S 67.896221°
E 95.372314°		 ← 459.68 m → S 67.896221°
E 95.383301°		 →
↑
459.60 m
↓
↑
459.60 m
↓
S 67.900354°
E 95.372314°		 ← 459.60 m →
211 254 m²		 S 67.900354°
E 95.383301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764938354492188 y=0.759933471679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764938354492188 × 215)
    floor (0.764938354492188 × 32768)
    floor (25065.5)     		tx = 25065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759933471679688 × 215)
    floor (0.759933471679688 × 32768)
    floor (24901.5)     		ty = 24901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25065 / 24901 ti = "15/25065/24901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25065/24901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25065 ÷ 215
    25065 ÷ 32768     		x = 0.764923095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24901 ÷ 215
    24901 ÷ 32768     		y = 0.759918212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764923095703125 × 2 - 1) × π
    0.52984619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66456090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759918212890625 × 2 - 1) × π
    -0.51983642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63311429625607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66456090} λ = 1.66456090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63311429625607))-π/2
    2×atan(0.195320340547085)-π/2
    2×0.192891864691037-π/2
    0.385783729382073-1.57079632675     		φ = -1.18501260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66456090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.372314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18501260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.896221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25065 KachelY 24901 1.66456090 -1.18501260 95.372314 -67.896221
    Oben rechts KachelX + 1 25066 KachelY 24901 1.66475265 -1.18501260 95.383301 -67.896221
    Unten links KachelX 25065 KachelY + 1 24902 1.66456090 -1.18508474 95.372314 -67.900354
    Unten rechts KachelX + 1 25066 KachelY + 1 24902 1.66475265 -1.18508474 95.383301 -67.900354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18501260--1.18508474) × R
    7.21399999998873e-05 × 6371000     		dl = 459.603939999282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18501260--1.18508474) × R
    7.21399999998873e-05 × 6371000     		dr = 459.603939999282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66456090-1.66475265) × cos(-1.18501260) × R
    0.000191750000000157 × 0.376285378098893 × 6371000     		do = 459.684987087074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66456090-1.66475265) × cos(-1.18508474) × R
    0.000191750000000157 × 0.376218539134802 × 6371000     		du = 459.603333985112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18501260)-sin(-1.18508474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376285378098893-0.376218539134802)×R²
    abs(1.66475265-1.66456090)×6.68389640904321e-05×R²
    0.000191750000000157×6.68389640904321e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.68389640904321e-05×40589641000000     		ar = 211254.267271571m²