Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 25064 / 57565
↖ ↑ ↗
← N 21.378917°
W111.159668°		 ← 284.41 m → N 21.378917°
W111.156921°		 →
↑
284.40 m
↓
↑
284.40 m
↓
N 21.376360°
W111.159668°		 ← 284.41 m →
80 887 m²		 N 21.376360°
W111.156921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191226959228516 y=0.439189910888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191226959228516 × 217)
    floor (0.191226959228516 × 131072)
    floor (25064.5)     		tx = 25064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439189910888672 × 217)
    floor (0.439189910888672 × 131072)
    floor (57565.5)     		ty = 57565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25064 / 57565 ti = "17/25064/57565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25064/57565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25064 ÷ 217
    25064 ÷ 131072     		x = 0.19122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57565 ÷ 217
    57565 ÷ 131072     		y = 0.439186096191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.19122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.6175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.94010220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439186096191406 × 2 - 1) × π
    0.121627807617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.382105026871468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94010220} λ = -1.94010220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382105026871468))-π/2
    2×atan(1.4653659798557)-π/2
    2×0.971964412448391-π/2
    1.94392882489678-1.57079632675     		φ = 0.37313250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94010220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.159668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37313250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.378917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25064 KachelY 57565 -1.94010220 0.37313250 -111.159668 21.378917
    Oben rechts KachelX + 1 25065 KachelY 57565 -1.94005426 0.37313250 -111.156921 21.378917
    Unten links KachelX 25064 KachelY + 1 57566 -1.94010220 0.37308786 -111.159668 21.376360
    Unten rechts KachelX + 1 25065 KachelY + 1 57566 -1.94005426 0.37308786 -111.156921 21.376360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37313250-0.37308786) × R
    4.46399999999847e-05 × 6371000     		dl = 284.401439999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37313250-0.37308786) × R
    4.46399999999847e-05 × 6371000     		dr = 284.401439999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94010220--1.94005426) × cos(0.37313250) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.931190012864428 × 6371000     		do = 284.409398760858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94010220--1.94005426) × cos(0.37308786) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.931206284741896 × 6371000     		du = 284.414368611075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37313250)-sin(0.37308786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931190012864428-0.931206284741896)×R²
    abs(-1.94005426--1.94010220)×1.62718774676662e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.62718774676662e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.62718774676662e-05×40589641000000     		ar = 80887.1492867239m²