Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25064 / 29096
↖ ↑ ↗
← N 19.766704°
W 42.319336°		 ← 574.80 m → N 19.766704°
W 42.313843°		 →
↑
574.86 m
↓
↑
574.86 m
↓
N 19.761534°
W 42.319336°		 ← 574.82 m →
330 431 m²		 N 19.761534°
W 42.313843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382453918457031 y=0.443977355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382453918457031 × 216)
    floor (0.382453918457031 × 65536)
    floor (25064.5)     		tx = 25064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443977355957031 × 216)
    floor (0.443977355957031 × 65536)
    floor (29096.5)     		ty = 29096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25064 / 29096 ti = "16/25064/29096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25064/29096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25064 ÷ 216
    25064 ÷ 65536     		x = 0.3824462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29096 ÷ 216
    29096 ÷ 65536     		y = 0.4439697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3824462890625 × 2 - 1) × π
    -0.235107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73861175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    0.112060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.352048590809692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73861175} λ = -0.73861175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352048590809692))-π/2
    2×atan(1.42197761708369)-π/2
    2×0.957895193014273-π/2
    1.91579038602855-1.57079632675     		φ = 0.34499406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73861175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.319336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34499406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.766704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25064 KachelY 29096 -0.73861175 0.34499406 -42.319336 19.766704
    Oben rechts KachelX + 1 25065 KachelY 29096 -0.73851588 0.34499406 -42.313843 19.766704
    Unten links KachelX 25064 KachelY + 1 29097 -0.73861175 0.34490383 -42.319336 19.761534
    Unten rechts KachelX + 1 25065 KachelY + 1 29097 -0.73851588 0.34490383 -42.313843 19.761534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34499406-0.34490383) × R
    9.02299999999689e-05 × 6371000     		dl = 574.855329999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34499406-0.34490383) × R
    9.02299999999689e-05 × 6371000     		dr = 574.855329999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73861175--0.73851588) × cos(0.34499406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941077461478174 × 6371000     		do = 574.798604093502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73861175--0.73851588) × cos(0.34490383) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941107972629066 × 6371000     		du = 574.817239931316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34499406)-sin(0.34490383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941077461478174-0.941107972629066)×R²
    abs(-0.73851588--0.73861175)×3.0511150892587e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0511150892587e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0511150892587e-05×40589641000000     		ar = 330431.397919102m²