Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25064 / 24360
↖ ↑ ↗
← S 65.549367°
E 95.361328°		 ← 505.65 m → S 65.549367°
E 95.372314°		 →
↑
505.60 m
↓
↑
505.60 m
↓
S 65.553914°
E 95.361328°		 ← 505.56 m →
255 634 m²		 S 65.553914°
E 95.372314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764907836914062 y=0.743423461914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764907836914062 × 215)
    floor (0.764907836914062 × 32768)
    floor (25064.5)     		tx = 25064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743423461914062 × 215)
    floor (0.743423461914062 × 32768)
    floor (24360.5)     		ty = 24360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25064 / 24360 ti = "15/25064/24360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25064/24360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25064 ÷ 215
    25064 ÷ 32768     		x = 0.764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24360 ÷ 215
    24360 ÷ 32768     		y = 0.743408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764892578125 × 2 - 1) × π
    0.52978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66436915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743408203125 × 2 - 1) × π
    -0.48681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52937884547827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66436915} λ = 1.66436915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52937884547827))-π/2
    2×atan(0.216670211206823)-π/2
    2×0.213372027754143-π/2
    0.426744055508287-1.57079632675     		φ = -1.14405227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66436915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.361328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14405227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.549367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25064 KachelY 24360 1.66436915 -1.14405227 95.361328 -65.549367
    Oben rechts KachelX + 1 25065 KachelY 24360 1.66456090 -1.14405227 95.372314 -65.549367
    Unten links KachelX 25064 KachelY + 1 24361 1.66436915 -1.14413163 95.361328 -65.553914
    Unten rechts KachelX + 1 25065 KachelY + 1 24361 1.66456090 -1.14413163 95.372314 -65.553914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14405227--1.14413163) × R
    7.93599999999728e-05 × 6371000     		dl = 505.602559999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14405227--1.14413163) × R
    7.93599999999728e-05 × 6371000     		dr = 505.602559999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66436915-1.66456090) × cos(-1.14405227) × R
    0.000191749999999935 × 0.413909057145611 × 6371000     		do = 505.6475501394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66436915-1.66456090) × cos(-1.14413163) × R
    0.000191749999999935 × 0.413836812987006 × 6371000     		du = 505.559293839665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14405227)-sin(-1.14413163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413909057145611-0.413836812987006)×R²
    abs(1.66456090-1.66436915)×7.22441586052391e-05×R²
    0.000191749999999935×7.22441586052391e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.22441586052391e-05×40589641000000     		ar = 255634.384636711m²