Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25063 / 35430
↖ ↑ ↗
← N 63.423489°
W111.162415°		 ← 136.65 m → N 63.423489°
W111.159668°		 →
↑
136.66 m
↓
↑
136.66 m
↓
N 63.422260°
W111.162415°		 ← 136.65 m →
18 674 m²		 N 63.422260°
W111.159668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191219329833984 y=0.270313262939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191219329833984 × 217)
    floor (0.191219329833984 × 131072)
    floor (25063.5)     		tx = 25063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270313262939453 × 217)
    floor (0.270313262939453 × 131072)
    floor (35430.5)     		ty = 35430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25063 / 35430 ti = "17/25063/35430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25063/35430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25063 ÷ 217
    25063 ÷ 131072     		x = 0.191215515136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35430 ÷ 217
    35430 ÷ 131072     		y = 0.270309448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.191215515136719 × 2 - 1) × π
    -0.617568969726562 × 3.1415926535     		Λ = -1.94015014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270309448242188 × 2 - 1) × π
    0.459381103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.44318829996141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94015014} λ = -1.94015014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44318829996141))-π/2
    2×atan(4.234174136352)-π/2
    2×1.33887251087753-π/2
    2.67774502175506-1.57079632675     		φ = 1.10694870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94015014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.162415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10694870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.423489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25063 KachelY 35430 -1.94015014 1.10694870 -111.162415 63.423489
    Oben rechts KachelX + 1 25064 KachelY 35430 -1.94010220 1.10694870 -111.159668 63.423489
    Unten links KachelX 25063 KachelY + 1 35431 -1.94015014 1.10692725 -111.162415 63.422260
    Unten rechts KachelX + 1 25064 KachelY + 1 35431 -1.94010220 1.10692725 -111.159668 63.422260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10694870-1.10692725) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dl = 136.657949999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10694870-1.10692725) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dr = 136.657949999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94015014--1.94010220) × cos(1.10694870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.44739248790662 × 6371000     		do = 136.645181689231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94015014--1.94010220) × cos(1.10692725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447411671347841 × 6371000     		du = 136.651040805962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10694870)-sin(1.10692725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44739248790662-0.447411671347841)×R²
    abs(-1.94010220--1.94015014)×1.9183441221482e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9183441221482e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9183441221482e-05×40589641000000     		ar = 18674.0507550881m²