Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25063 / 24413
↖ ↑ ↗
← S 65.789263°
E 95.350342°		 ← 500.96 m → S 65.789263°
E 95.361328°		 →
↑
500.95 m
↓
↑
500.95 m
↓
S 65.793769°
E 95.350342°		 ← 500.87 m →
250 935 m²		 S 65.793769°
E 95.361328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764877319335938 y=0.745040893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764877319335938 × 215)
    floor (0.764877319335938 × 32768)
    floor (25063.5)     		tx = 25063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745040893554688 × 215)
    floor (0.745040893554688 × 32768)
    floor (24413.5)     		ty = 24413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25063 / 24413 ti = "15/25063/24413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25063/24413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25063 ÷ 215
    25063 ÷ 32768     		x = 0.764862060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24413 ÷ 215
    24413 ÷ 32768     		y = 0.745025634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764862060546875 × 2 - 1) × π
    0.52972412109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66417741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745025634765625 × 2 - 1) × π
    -0.49005126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53954146819772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66417741} λ = 1.66417741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53954146819772))-π/2
    2×atan(0.214479424520199)-π/2
    2×0.211278531753387-π/2
    0.422557063506773-1.57079632675     		φ = -1.14823926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66417741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.350342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14823926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.789263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25063 KachelY 24413 1.66417741 -1.14823926 95.350342 -65.789263
    Oben rechts KachelX + 1 25064 KachelY 24413 1.66436915 -1.14823926 95.361328 -65.789263
    Unten links KachelX 25063 KachelY + 1 24414 1.66417741 -1.14831789 95.350342 -65.793769
    Unten rechts KachelX + 1 25064 KachelY + 1 24414 1.66436915 -1.14831789 95.361328 -65.793769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14823926--1.14831789) × R
    7.86299999999684e-05 × 6371000     		dl = 500.951729999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14823926--1.14831789) × R
    7.86299999999684e-05 × 6371000     		dr = 500.951729999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66417741-1.66436915) × cos(-1.14823926) × R
    0.000191739999999996 × 0.41009394683661 × 6371000     		do = 500.960734557653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66417741-1.66436915) × cos(-1.14831789) × R
    0.000191739999999996 × 0.4100222316054 × 6371000     		du = 500.873128985361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14823926)-sin(-1.14831789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41009394683661-0.4100222316054)×R²
    abs(1.66436915-1.66417741)×7.17152312102454e-05×R²
    0.000191739999999996×7.17152312102454e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.17152312102454e-05×40589641000000     		ar = 250935.203686714m²