Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25062 / 57582
↖ ↑ ↗
← N 21.335432°
W111.165161°		 ← 284.49 m → N 21.335432°
W111.162415°		 →
↑
284.47 m
↓
↑
284.47 m
↓
N 21.332873°
W111.165161°		 ← 284.50 m →
80 929 m²		 N 21.332873°
W111.162415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191211700439453 y=0.439319610595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191211700439453 × 217)
    floor (0.191211700439453 × 131072)
    floor (25062.5)     		tx = 25062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439319610595703 × 217)
    floor (0.439319610595703 × 131072)
    floor (57582.5)     		ty = 57582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25062 / 57582 ti = "17/25062/57582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25062/57582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25062 ÷ 217
    25062 ÷ 131072     		x = 0.191207885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57582 ÷ 217
    57582 ÷ 131072     		y = 0.439315795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.191207885742188 × 2 - 1) × π
    -0.617584228515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.94019808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439315795898438 × 2 - 1) × π
    0.121368408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.381290099577927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94019808} λ = -1.94019808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381290099577927))-π/2
    2×atan(1.46417229957107)-π/2
    2×0.971584930042646-π/2
    1.94316986008529-1.57079632675     		φ = 0.37237353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94019808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.165161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37237353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.335432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25062 KachelY 57582 -1.94019808 0.37237353 -111.165161 21.335432
    Oben rechts KachelX + 1 25063 KachelY 57582 -1.94015014 0.37237353 -111.162415 21.335432
    Unten links KachelX 25062 KachelY + 1 57583 -1.94019808 0.37232888 -111.165161 21.332873
    Unten rechts KachelX + 1 25063 KachelY + 1 57583 -1.94015014 0.37232888 -111.162415 21.332873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37237353-0.37232888) × R
    4.46500000000349e-05 × 6371000     		dl = 284.465150000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37237353-0.37232888) × R
    4.46500000000349e-05 × 6371000     		dr = 284.465150000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94019808--1.94015014) × cos(0.37237353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931466415136447 × 6371000     		do = 284.49381912801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94019808--1.94015014) × cos(0.37232888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.931482659097703 × 6371000     		du = 284.498780451897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37237353)-sin(0.37232888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931466415136447-0.931482659097703)×R²
    abs(-1.94015014--1.94019808)×1.62439612563237e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62439612563237e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62439612563237e-05×40589641000000     		ar = 80929.2826077795m²