Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25062 / 35431
↖ ↑ ↗
← N 63.422260°
W111.165161°		 ← 136.65 m → N 63.422260°
W111.162415°		 →
↑
136.66 m
↓
↑
136.66 m
↓
N 63.421031°
W111.165161°		 ← 136.66 m →
18 675 m²		 N 63.421031°
W111.162415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191211700439453 y=0.270320892333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191211700439453 × 217)
    floor (0.191211700439453 × 131072)
    floor (25062.5)     		tx = 25062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270320892333984 × 217)
    floor (0.270320892333984 × 131072)
    floor (35431.5)     		ty = 35431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25062 / 35431 ti = "17/25062/35431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25062/35431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25062 ÷ 217
    25062 ÷ 131072     		x = 0.191207885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35431 ÷ 217
    35431 ÷ 131072     		y = 0.270317077636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.191207885742188 × 2 - 1) × π
    -0.617584228515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.94019808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270317077636719 × 2 - 1) × π
    0.459365844726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.44314036306179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94019808} λ = -1.94019808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44314036306179))-π/2
    2×atan(4.23397116803633)-π/2
    2×1.33886178734316-π/2
    2.67772357468633-1.57079632675     		φ = 1.10692725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94019808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.165161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10692725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.422260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25062 KachelY 35431 -1.94019808 1.10692725 -111.165161 63.422260
    Oben rechts KachelX + 1 25063 KachelY 35431 -1.94015014 1.10692725 -111.162415 63.422260
    Unten links KachelX 25062 KachelY + 1 35432 -1.94019808 1.10690580 -111.165161 63.421031
    Unten rechts KachelX + 1 25063 KachelY + 1 35432 -1.94015014 1.10690580 -111.162415 63.421031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10692725-1.10690580) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dl = 136.657949999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10692725-1.10690580) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dr = 136.657949999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94019808--1.94015014) × cos(1.10692725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447411671347841 × 6371000     		do = 136.651040805962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94019808--1.94015014) × cos(1.10690580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447430854583208 × 6371000     		du = 136.656899859819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10692725)-sin(1.10690580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447411671347841-0.447430854583208)×R²
    abs(-1.94015014--1.94019808)×1.91832353662602e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91832353662602e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91832353662602e-05×40589641000000     		ar = 18674.8514457109m²