Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25062 / 28966
↖ ↑ ↗
← N 20.437308°
W 42.330322°		 ← 572.40 m → N 20.437308°
W 42.324829°		 →
↑
572.37 m
↓
↑
572.37 m
↓
N 20.432160°
W 42.330322°		 ← 572.42 m →
327 631 m²		 N 20.432160°
W 42.324829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382423400878906 y=0.441993713378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382423400878906 × 216)
    floor (0.382423400878906 × 65536)
    floor (25062.5)     		tx = 25062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441993713378906 × 216)
    floor (0.441993713378906 × 65536)
    floor (28966.5)     		ty = 28966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25062 / 28966 ti = "16/25062/28966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25062/28966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25062 ÷ 216
    25062 ÷ 65536     		x = 0.382415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28966 ÷ 216
    28966 ÷ 65536     		y = 0.441986083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.23516845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73880350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441986083984375 × 2 - 1) × π
    0.11602783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.364512184710907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73880350} λ = -0.73880350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364512184710907))-π/2
    2×atan(1.43981147475909)-π/2
    2×0.963747320383288-π/2
    1.92749464076658-1.57079632675     		φ = 0.35669831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73880350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.330322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35669831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.437308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25062 KachelY 28966 -0.73880350 0.35669831 -42.330322 20.437308
    Oben rechts KachelX + 1 25063 KachelY 28966 -0.73870762 0.35669831 -42.324829 20.437308
    Unten links KachelX 25062 KachelY + 1 28967 -0.73880350 0.35660847 -42.330322 20.432160
    Unten rechts KachelX + 1 25063 KachelY + 1 28967 -0.73870762 0.35660847 -42.324829 20.432160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35669831-0.35660847) × R
    8.98400000000077e-05 × 6371000     		dl = 572.370640000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35669831-0.35660847) × R
    8.98400000000077e-05 × 6371000     		dr = 572.370640000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73880350--0.73870762) × cos(0.35669831) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.937054820703604 × 6371000     		do = 572.401324067556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73880350--0.73870762) × cos(0.35660847) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.937086187457792 × 6371000     		du = 572.420484495774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35669831)-sin(0.35660847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937054820703604-0.937086187457792)×R²
    abs(-0.73870762--0.73880350)×3.13667541878004e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.13667541878004e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.13667541878004e-05×40589641000000     		ar = 327631.195847148m²