Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25062 / 25374
↖ ↑ ↗
← S 69.771356°
E 95.339355°		 ← 422.40 m → S 69.771356°
E 95.350342°		 →
↑
422.33 m
↓
↑
422.33 m
↓
S 69.775154°
E 95.339355°		 ← 422.33 m →
178 379 m²		 S 69.775154°
E 95.350342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764846801757812 y=0.774368286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764846801757812 × 215)
    floor (0.764846801757812 × 32768)
    floor (25062.5)     		tx = 25062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774368286132812 × 215)
    floor (0.774368286132812 × 32768)
    floor (25374.5)     		ty = 25374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25062 / 25374 ti = "15/25062/25374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25062/25374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25062 ÷ 215
    25062 ÷ 32768     		x = 0.76483154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25374 ÷ 215
    25374 ÷ 32768     		y = 0.77435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76483154296875 × 2 - 1) × π
    0.5296630859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66398566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.5487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72381091033722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66398566} λ = 1.66398566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72381091033722))-π/2
    2×atan(0.178385041519377)-π/2
    2×0.176528222991307-π/2
    0.353056445982614-1.57079632675     		φ = -1.21773988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66398566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.339355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21773988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.771356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25062 KachelY 25374 1.66398566 -1.21773988 95.339355 -69.771356
    Oben rechts KachelX + 1 25063 KachelY 25374 1.66417741 -1.21773988 95.350342 -69.771356
    Unten links KachelX 25062 KachelY + 1 25375 1.66398566 -1.21780617 95.339355 -69.775154
    Unten rechts KachelX + 1 25063 KachelY + 1 25375 1.66417741 -1.21780617 95.350342 -69.775154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21773988--1.21780617) × R
    6.62899999999134e-05 × 6371000     		dl = 422.333589999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21773988--1.21780617) × R
    6.62899999999134e-05 × 6371000     		dr = 422.333589999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66398566-1.66417741) × cos(-1.21773988) × R
    0.000191749999999935 × 0.345767344050933 × 6371000     		do = 422.40295886073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66398566-1.66417741) × cos(-1.21780617) × R
    0.000191749999999935 × 0.345705142040047 × 6371000     		du = 422.326970442804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21773988)-sin(-1.21780617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345767344050933-0.345705142040047)×R²
    abs(1.66417741-1.66398566)×6.22020108855259e-05×R²
    0.000191749999999935×6.22020108855259e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.22020108855259e-05×40589641000000     		ar = 178378.911876535m²