Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25062 / 24937
↖ ↑ ↗
← S 68.044569°
E 95.339355°		 ← 456.75 m → S 68.044569°
E 95.350342°		 →
↑
456.74 m
↓
↑
456.74 m
↓
S 68.048677°
E 95.339355°		 ← 456.67 m →
208 597 m²		 S 68.048677°
E 95.350342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764846801757812 y=0.761032104492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764846801757812 × 215)
    floor (0.764846801757812 × 32768)
    floor (25062.5)     		tx = 25062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761032104492188 × 215)
    floor (0.761032104492188 × 32768)
    floor (24937.5)     		ty = 24937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25062 / 24937 ti = "15/25062/24937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25062/24937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25062 ÷ 215
    25062 ÷ 32768     		x = 0.76483154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24937 ÷ 215
    24937 ÷ 32768     		y = 0.761016845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76483154296875 × 2 - 1) × π
    0.5296630859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66398566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761016845703125 × 2 - 1) × π
    -0.52203369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64001720980136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66398566} λ = 1.66398566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64001720980136))-π/2
    2×atan(0.193976703961622)-π/2
    2×0.191597277646951-π/2
    0.383194555293903-1.57079632675     		φ = -1.18760177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66398566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.339355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18760177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.044569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25062 KachelY 24937 1.66398566 -1.18760177 95.339355 -68.044569
    Oben rechts KachelX + 1 25063 KachelY 24937 1.66417741 -1.18760177 95.350342 -68.044569
    Unten links KachelX 25062 KachelY + 1 24938 1.66398566 -1.18767346 95.339355 -68.048677
    Unten rechts KachelX + 1 25063 KachelY + 1 24938 1.66417741 -1.18767346 95.350342 -68.048677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18760177--1.18767346) × R
    7.16900000001797e-05 × 6371000     		dl = 456.736990001145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18760177--1.18767346) × R
    7.16900000001797e-05 × 6371000     		dr = 456.736990001145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66398566-1.66417741) × cos(-1.18760177) × R
    0.000191749999999935 × 0.373885243632936 × 6371000     		do = 456.752888617652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66398566-1.66417741) × cos(-1.18767346) × R
    0.000191749999999935 × 0.373818751991431 × 6371000     		du = 456.671659818593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18760177)-sin(-1.18767346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373885243632936-0.373818751991431)×R²
    abs(1.66417741-1.66398566)×6.64916415043515e-05×R²
    0.000191749999999935×6.64916415043515e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.64916415043515e-05×40589641000000     		ar = 208597.389512838m²