Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25060 / 24354
↖ ↑ ↗
← S 65.522069°
E 95.317383°		 ← 506.18 m → S 65.522069°
E 95.328369°		 →
↑
506.11 m
↓
↑
506.11 m
↓
S 65.526620°
E 95.317383°		 ← 506.09 m →
256 160 m²		 S 65.526620°
E 95.328369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764785766601562 y=0.743240356445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764785766601562 × 215)
    floor (0.764785766601562 × 32768)
    floor (25060.5)     		tx = 25060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743240356445312 × 215)
    floor (0.743240356445312 × 32768)
    floor (24354.5)     		ty = 24354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25060 / 24354 ti = "15/25060/24354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25060/24354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25060 ÷ 215
    25060 ÷ 32768     		x = 0.7647705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24354 ÷ 215
    24354 ÷ 32768     		y = 0.74322509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7647705078125 × 2 - 1) × π
    0.529541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66360216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.4864501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52822835988739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66360216} λ = 1.66360216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52822835988739))-π/2
    2×atan(0.216919630611994)-π/2
    2×0.213610250672166-π/2
    0.427220501344331-1.57079632675     		φ = -1.14357583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66360216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.317383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14357583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.522069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25060 KachelY 24354 1.66360216 -1.14357583 95.317383 -65.522069
    Oben rechts KachelX + 1 25061 KachelY 24354 1.66379391 -1.14357583 95.328369 -65.522069
    Unten links KachelX 25060 KachelY + 1 24355 1.66360216 -1.14365527 95.317383 -65.526620
    Unten rechts KachelX + 1 25061 KachelY + 1 24355 1.66379391 -1.14365527 95.328369 -65.526620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14357583--1.14365527) × R
    7.94399999999307e-05 × 6371000     		dl = 506.112239999558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14357583--1.14365527) × R
    7.94399999999307e-05 × 6371000     		dr = 506.112239999558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66360216-1.66379391) × cos(-1.14357583) × R
    0.000191750000000157 × 0.414342722172328 × 6371000     		do = 506.177332357976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66360216-1.66379391) × cos(-1.14365527) × R
    0.000191750000000157 × 0.414270420858267 × 6371000     		du = 506.089006234892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14357583)-sin(-1.14365527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414342722172328-0.414270420858267)×R²
    abs(1.66379391-1.66360216)×7.23013140614959e-05×R²
    0.000191750000000157×7.23013140614959e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.23013140614959e-05×40589641000000     		ar = 256160.192185434m²