Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25059 / 24350
↖ ↑ ↗
← S 65.503854°
E 95.306397°		 ← 506.50 m → S 65.503854°
E 95.317383°		 →
↑
506.49 m
↓
↑
506.49 m
↓
S 65.508409°
E 95.306397°		 ← 506.42 m →
256 519 m²		 S 65.508409°
E 95.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764755249023438 y=0.743118286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764755249023438 × 215)
    floor (0.764755249023438 × 32768)
    floor (25059.5)     		tx = 25059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743118286132812 × 215)
    floor (0.743118286132812 × 32768)
    floor (24350.5)     		ty = 24350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25059 / 24350 ti = "15/25059/24350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25059/24350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25059 ÷ 215
    25059 ÷ 32768     		x = 0.764739990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24350 ÷ 215
    24350 ÷ 32768     		y = 0.74310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764739990234375 × 2 - 1) × π
    0.52947998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66341042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.4862060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52746136949347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66341042} λ = 1.66341042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52746136949347))-π/2
    2×atan(0.21708606970536)-π/2
    2×0.213769204587681-π/2
    0.427538409175361-1.57079632675     		φ = -1.14325792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66341042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.306397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14325792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.503854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25059 KachelY 24350 1.66341042 -1.14325792 95.306397 -65.503854
    Oben rechts KachelX + 1 25060 KachelY 24350 1.66360216 -1.14325792 95.317383 -65.503854
    Unten links KachelX 25059 KachelY + 1 24351 1.66341042 -1.14333742 95.306397 -65.508409
    Unten rechts KachelX + 1 25060 KachelY + 1 24351 1.66360216 -1.14333742 95.317383 -65.508409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14325792--1.14333742) × R
    7.95000000000101e-05 × 6371000     		dl = 506.494500000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14325792--1.14333742) × R
    7.95000000000101e-05 × 6371000     		dr = 506.494500000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66341042-1.66360216) × cos(-1.14325792) × R
    0.000191739999999996 × 0.414632037774409 × 6371000     		do = 506.504355445563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66341042-1.66360216) × cos(-1.14333742) × R
    0.000191739999999996 × 0.414559692325891 × 6371000     		du = 506.415980015224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14325792)-sin(-1.14333742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414632037774409-0.414559692325891)×R²
    abs(1.66360216-1.66341042)×7.23454485173081e-05×R²
    0.000191739999999996×7.23454485173081e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.23454485173081e-05×40589641000000     		ar = 256519.289559725m²