Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25058 / 24925
↖ ↑ ↗
← S 67.995225°
E 95.295410°		 ← 457.73 m → S 67.995225°
E 95.306397°		 →
↑
457.69 m
↓
↑
457.69 m
↓
S 67.999341°
E 95.295410°		 ← 457.65 m →
209 480 m²		 S 67.999341°
E 95.306397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764724731445312 y=0.760665893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764724731445312 × 215)
    floor (0.764724731445312 × 32768)
    floor (25058.5)     		tx = 25058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760665893554688 × 215)
    floor (0.760665893554688 × 32768)
    floor (24925.5)     		ty = 24925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25058 / 24925 ti = "15/25058/24925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25058/24925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25058 ÷ 215
    25058 ÷ 32768     		x = 0.76470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24925 ÷ 215
    24925 ÷ 32768     		y = 0.760650634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76470947265625 × 2 - 1) × π
    0.5294189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66321867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760650634765625 × 2 - 1) × π
    -0.52130126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6377162386196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66321867} λ = 1.66321867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6377162386196))-π/2
    2×atan(0.194423552663211)-π/2
    2×0.192027886493922-π/2
    0.384055772987843-1.57079632675     		φ = -1.18674055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66321867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.295410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18674055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.995225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25058 KachelY 24925 1.66321867 -1.18674055 95.295410 -67.995225
    Oben rechts KachelX + 1 25059 KachelY 24925 1.66341042 -1.18674055 95.306397 -67.995225
    Unten links KachelX 25058 KachelY + 1 24926 1.66321867 -1.18681239 95.295410 -67.999341
    Unten rechts KachelX + 1 25059 KachelY + 1 24926 1.66341042 -1.18681239 95.306397 -67.999341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18674055--1.18681239) × R
    7.18400000001562e-05 × 6371000     		dl = 457.692640000995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18674055--1.18681239) × R
    7.18400000001562e-05 × 6371000     		dr = 457.692640000995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66321867-1.66341042) × cos(-1.18674055) × R
    0.000191749999999935 × 0.374683864874689 × 6371000     		do = 457.728515672462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66321867-1.66341042) × cos(-1.18681239) × R
    0.000191749999999935 × 0.374617257262857 × 6371000     		du = 457.647145199499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18674055)-sin(-1.18681239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374683864874689-0.374617257262857)×R²
    abs(1.66341042-1.66321867)×6.66076118319148e-05×R²
    0.000191749999999935×6.66076118319148e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.66076118319148e-05×40589641000000     		ar = 209480.351498441m²