Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25056 / 35488
↖ ↑ ↗
← N 63.352129°
W111.181641°		 ← 136.99 m → N 63.352129°
W111.178894°		 →
↑
136.98 m
↓
↑
136.98 m
↓
N 63.350897°
W111.181641°		 ← 136.99 m →
18 764 m²		 N 63.350897°
W111.178894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191165924072266 y=0.270755767822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191165924072266 × 217)
    floor (0.191165924072266 × 131072)
    floor (25056.5)     		tx = 25056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270755767822266 × 217)
    floor (0.270755767822266 × 131072)
    floor (35488.5)     		ty = 35488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25056 / 35488 ti = "17/25056/35488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25056/35488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25056 ÷ 217
    25056 ÷ 131072     		x = 0.191162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35488 ÷ 217
    35488 ÷ 131072     		y = 0.270751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.191162109375 × 2 - 1) × π
    -0.61767578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.94048570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270751953125 × 2 - 1) × π
    0.45849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44040795978345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94048570} λ = -1.94048570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44040795978345))-π/2
    2×atan(4.22241804242352)-π/2
    2×1.33824978547509-π/2
    2.67649957095018-1.57079632675     		φ = 1.10570324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94048570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.181641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10570324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.352129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25056 KachelY 35488 -1.94048570 1.10570324 -111.181641 63.352129
    Oben rechts KachelX + 1 25057 KachelY 35488 -1.94043776 1.10570324 -111.178894 63.352129
    Unten links KachelX 25056 KachelY + 1 35489 -1.94048570 1.10568174 -111.181641 63.350897
    Unten rechts KachelX + 1 25057 KachelY + 1 35489 -1.94043776 1.10568174 -111.178894 63.350897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10570324-1.10568174) × R
    2.14999999998966e-05 × 6371000     		dl = 136.976499999341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10570324-1.10568174) × R
    2.14999999998966e-05 × 6371000     		dr = 136.976499999341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94048570--1.94043776) × cos(1.10570324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.44850600248744 × 6371000     		do = 136.985277704078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94048570--1.94043776) × cos(1.10568174) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448525218649897 × 6371000     		du = 136.991146814717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10570324)-sin(1.10568174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44850600248744-0.448525218649897)×R²
    abs(-1.94043776--1.94048570)×1.92161624565923e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92161624565923e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92161624565923e-05×40589641000000     		ar = 18764.1658569907m²