Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25056 / 24798
↖ ↑ ↗
← S 67.466503°
E 95.273437°		 ← 468.16 m → S 67.466503°
E 95.284424°		 →
↑
468.14 m
↓
↑
468.14 m
↓
S 67.470714°
E 95.273437°		 ← 468.08 m →
219 146 m²		 S 67.470714°
E 95.284424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764663696289062 y=0.756790161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764663696289062 × 215)
    floor (0.764663696289062 × 32768)
    floor (25056.5)     		tx = 25056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756790161132812 × 215)
    floor (0.756790161132812 × 32768)
    floor (24798.5)     		ty = 24798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25056 / 24798 ti = "15/25056/24798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25056/24798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25056 ÷ 215
    25056 ÷ 32768     		x = 0.7646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24798 ÷ 215
    24798 ÷ 32768     		y = 0.75677490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7646484375 × 2 - 1) × π
    0.529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66283517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75677490234375 × 2 - 1) × π
    -0.5135498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61336429361261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66283517} λ = 1.66283517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61336429361261))-π/2
    2×atan(0.199216263395495)-π/2
    2×0.196641853506084-π/2
    0.393283707012169-1.57079632675     		φ = -1.17751262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66283517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17751262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.466503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25056 KachelY 24798 1.66283517 -1.17751262 95.273437 -67.466503
    Oben rechts KachelX + 1 25057 KachelY 24798 1.66302692 -1.17751262 95.284424 -67.466503
    Unten links KachelX 25056 KachelY + 1 24799 1.66283517 -1.17758610 95.273437 -67.470714
    Unten rechts KachelX + 1 25057 KachelY + 1 24799 1.66302692 -1.17758610 95.284424 -67.470714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17751262--1.17758610) × R
    7.34800000001812e-05 × 6371000     		dl = 468.141080001154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17751262--1.17758610) × R
    7.34800000001812e-05 × 6371000     		dr = 468.141080001154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66283517-1.66302692) × cos(-1.17751262) × R
    0.000191750000000157 × 0.383223490096854 × 6371000     		do = 468.160857024687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66283517-1.66302692) × cos(-1.17758610) × R
    0.000191750000000157 × 0.383155618845307 × 6371000     		du = 468.07794283985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17751262)-sin(-1.17758610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383223490096854-0.383155618845307)×R²
    abs(1.66302692-1.66283517)×6.78712515475022e-05×R²
    0.000191750000000157×6.78712515475022e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.78712515475022e-05×40589641000000     		ar = 219145.921552045m²