Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25055 / 29026
↖ ↑ ↗
← N 20.128155°
W 42.368774°		 ← 573.48 m → N 20.128155°
W 42.363281°		 →
↑
573.52 m
↓
↑
573.52 m
↓
N 20.122997°
W 42.368774°		 ← 573.50 m →
328 909 m²		 N 20.122997°
W 42.363281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382316589355469 y=0.442909240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382316589355469 × 216)
    floor (0.382316589355469 × 65536)
    floor (25055.5)     		tx = 25055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442909240722656 × 216)
    floor (0.442909240722656 × 65536)
    floor (29026.5)     		ty = 29026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25055 / 29026 ti = "16/25055/29026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25055/29026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25055 ÷ 216
    25055 ÷ 65536     		x = 0.382308959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29026 ÷ 216
    29026 ÷ 65536     		y = 0.442901611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382308959960938 × 2 - 1) × π
    -0.235382080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73947461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442901611328125 × 2 - 1) × π
    0.11419677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.3587597567565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73947461} λ = -0.73947461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3587597567565))-π/2
    2×atan(1.43155283935865)-π/2
    2×0.961049454664458-π/2
    1.92209890932892-1.57079632675     		φ = 0.35130258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73947461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.368774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35130258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.128155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25055 KachelY 29026 -0.73947461 0.35130258 -42.368774 20.128155
    Oben rechts KachelX + 1 25056 KachelY 29026 -0.73937874 0.35130258 -42.363281 20.128155
    Unten links KachelX 25055 KachelY + 1 29027 -0.73947461 0.35121256 -42.368774 20.122997
    Unten rechts KachelX + 1 25056 KachelY + 1 29027 -0.73937874 0.35121256 -42.363281 20.122997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35130258-0.35121256) × R
    9.00199999999685e-05 × 6371000     		dl = 573.517419999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35130258-0.35121256) × R
    9.00199999999685e-05 × 6371000     		dr = 573.517419999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73947461--0.73937874) × cos(0.35130258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938925264224038 × 6371000     		do = 573.484068332049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73947461--0.73937874) × cos(0.35121256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93895623820327 × 6371000     		du = 573.502986859751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35130258)-sin(0.35121256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938925264224038-0.93895623820327)×R²
    abs(-0.73937874--0.73947461)×3.09739792316854e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09739792316854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09739792316854e-05×40589641000000     		ar = 328908.528555485m²