Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25052 / 25476
↖ ↑ ↗
← S 70.155288°
E 95.229492°		 ← 414.71 m → S 70.155288°
E 95.240478°		 →
↑
414.69 m
↓
↑
414.69 m
↓
S 70.159017°
E 95.229492°		 ← 414.64 m →
171 961 m²		 S 70.159017°
E 95.240478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764541625976562 y=0.777481079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764541625976562 × 215)
    floor (0.764541625976562 × 32768)
    floor (25052.5)     		tx = 25052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777481079101562 × 215)
    floor (0.777481079101562 × 32768)
    floor (25476.5)     		ty = 25476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25052 / 25476 ti = "15/25052/25476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25052/25476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25052 ÷ 215
    25052 ÷ 32768     		x = 0.7645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25476 ÷ 215
    25476 ÷ 32768     		y = 0.7774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7645263671875 × 2 - 1) × π
    0.529052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66206818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.554931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7433691653822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66206818} λ = 1.66206818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7433691653822))-π/2
    2×atan(0.174930038431733)-π/2
    2×0.173177782984299-π/2
    0.346355565968599-1.57079632675     		φ = -1.22444076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66206818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.229492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22444076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.155288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25052 KachelY 25476 1.66206818 -1.22444076 95.229492 -70.155288
    Oben rechts KachelX + 1 25053 KachelY 25476 1.66225993 -1.22444076 95.240478 -70.155288
    Unten links KachelX 25052 KachelY + 1 25477 1.66206818 -1.22450585 95.229492 -70.159017
    Unten rechts KachelX + 1 25053 KachelY + 1 25477 1.66225993 -1.22450585 95.240478 -70.159017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22444076--1.22450585) × R
    6.50899999998789e-05 × 6371000     		dl = 414.688389999228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22444076--1.22450585) × R
    6.50899999998789e-05 × 6371000     		dr = 414.688389999228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66206818-1.66225993) × cos(-1.22444076) × R
    0.000191750000000157 × 0.339472056763622 × 6371000     		do = 414.712388821009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66206818-1.66225993) × cos(-1.22450585) × R
    0.000191750000000157 × 0.339410831339996 × 6371000     		du = 414.637593440409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22444076)-sin(-1.22450585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339472056763622-0.339410831339996)×R²
    abs(1.66225993-1.66206818)×6.12254236260212e-05×R²
    0.000191750000000157×6.12254236260212e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.12254236260212e-05×40589641000000     		ar = 171960.904505806m²