Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25052 / 24436
S 65.892680°
E 95.229492°
← 498.97 m → S 65.892680°
E 95.240478°

498.98 m

498.98 m
S 65.897167°
E 95.229492°
← 498.89 m →
248 955 m²
S 65.897167°
E 95.240478°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764541625976562 y=0.745742797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764541625976562 × 215)
    floor (0.764541625976562 × 32768)
    floor (25052.5)
    tx = 25052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745742797851562 × 215)
    floor (0.745742797851562 × 32768)
    floor (24436.5)
    ty = 24436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25052 / 24436 ti = "15/25052/24436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25052/24436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25052 ÷ 215
    25052 ÷ 32768
    x = 0.7645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24436 ÷ 215
    24436 ÷ 32768
    y = 0.7457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.7645263671875 × 2 - 1) × π
    0.529052734375 × 3.1415926535
    Λ = 1.66206818
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.7457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.491455078125 × 3.1415926535
    Φ = -1.54395166296277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66206818} λ = 1.66206818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54395166296277))-π/2
    2×atan(0.213535611214969)-π/2
    2×0.210376051397697-π/2
    0.420752102795394-1.57079632675
    φ = -1.15004422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66206818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.229492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15004422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.892680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25052 KachelY 24436 1.66206818 -1.15004422 95.229492 -65.892680
    Oben rechts KachelX + 1 25053 KachelY 24436 1.66225993 -1.15004422 95.240478 -65.892680
    Unten links KachelX 25052 KachelY + 1 24437 1.66206818 -1.15012254 95.229492 -65.897167
    Unten rechts KachelX + 1 25053 KachelY + 1 24437 1.66225993 -1.15012254 95.240478 -65.897167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.15004422--1.15012254) × R
    7.83199999998541e-05 × 6371000
    dl = 498.97671999907m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.15004422--1.15012254) × R
    7.83199999998541e-05 × 6371000
    dr = 498.97671999907m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.66206818-1.66225993) × cos(-1.15004422) × R
    0.000191750000000157 × 0.408447078063352 × 6371000
    do = 498.974982110414m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.66206818-1.66225993) × cos(-1.15012254) × R
    0.000191750000000157 × 0.408375587724264 × 6371000
    du = 498.887646706187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.15004422)-sin(-1.15012254))×
    abs(λ12)×abs(0.408447078063352-0.408375587724264)×
    abs(1.66225993-1.66206818)×7.14903390886534e-05×
    0.000191750000000157×7.14903390886534e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.14903390886534e-05×40589641000000
    ar = 248955.110894884m²