Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25052 / 24201
↖ ↑ ↗
← S 64.816233°
E 95.229492°		 ← 519.84 m → S 64.816233°
E 95.240478°		 →
↑
519.75 m
↓
↑
519.75 m
↓
S 64.820907°
E 95.229492°		 ← 519.75 m →
270 159 m²		 S 64.820907°
E 95.240478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764541625976562 y=0.738571166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764541625976562 × 215)
    floor (0.764541625976562 × 32768)
    floor (25052.5)     		tx = 25052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738571166992188 × 215)
    floor (0.738571166992188 × 32768)
    floor (24201.5)     		ty = 24201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25052 / 24201 ti = "15/25052/24201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25052/24201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25052 ÷ 215
    25052 ÷ 32768     		x = 0.7645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24201 ÷ 215
    24201 ÷ 32768     		y = 0.738555908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7645263671875 × 2 - 1) × π
    0.529052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66206818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738555908203125 × 2 - 1) × π
    -0.47711181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49889097731992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66206818} λ = 1.66206818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49889097731992))-π/2
    2×atan(0.22337775382477)-π/2
    2×0.219769829686716-π/2
    0.439539659373432-1.57079632675     		φ = -1.13125667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66206818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.229492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13125667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.816233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25052 KachelY 24201 1.66206818 -1.13125667 95.229492 -64.816233
    Oben rechts KachelX + 1 25053 KachelY 24201 1.66225993 -1.13125667 95.240478 -64.816233
    Unten links KachelX 25052 KachelY + 1 24202 1.66206818 -1.13133825 95.229492 -64.820907
    Unten rechts KachelX + 1 25053 KachelY + 1 24202 1.66225993 -1.13133825 95.240478 -64.820907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13125667--1.13133825) × R
    8.15800000000255e-05 × 6371000     		dl = 519.746180000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13125667--1.13133825) × R
    8.15800000000255e-05 × 6371000     		dr = 519.746180000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66206818-1.66225993) × cos(-1.13125667) × R
    0.000191750000000157 × 0.425522923668576 × 6371000     		do = 519.835505328712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66206818-1.66225993) × cos(-1.13133825) × R
    0.000191750000000157 × 0.425449096623732 × 6371000     		du = 519.74531531302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13125667)-sin(-1.13133825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425522923668576-0.425449096623732)×R²
    abs(1.66225993-1.66206818)×7.38270448437661e-05×R²
    0.000191750000000157×7.38270448437661e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.38270448437661e-05×40589641000000     		ar = 270159.080314902m²