Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25051 / 25483
↖ ↑ ↗
← S 70.181378°
E 95.218506°		 ← 414.17 m → S 70.181378°
E 95.229492°		 →
↑
414.18 m
↓
↑
414.18 m
↓
S 70.185103°
E 95.218506°		 ← 414.09 m →
171 524 m²		 S 70.185103°
E 95.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764511108398438 y=0.777694702148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764511108398438 × 215)
    floor (0.764511108398438 × 32768)
    floor (25051.5)     		tx = 25051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777694702148438 × 215)
    floor (0.777694702148438 × 32768)
    floor (25483.5)     		ty = 25483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25051 / 25483 ti = "15/25051/25483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25051/25483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25051 ÷ 215
    25051 ÷ 32768     		x = 0.764495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25483 ÷ 215
    25483 ÷ 32768     		y = 0.777679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764495849609375 × 2 - 1) × π
    0.52899169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66187644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.55535888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74471139857156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66187644} λ = 1.66187644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74471139857156))-π/2
    2×atan(0.174695399033955)-π/2
    2×0.172950101419187-π/2
    0.345900202838373-1.57079632675     		φ = -1.22489612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66187644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.218506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22489612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.181378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25051 KachelY 25483 1.66187644 -1.22489612 95.218506 -70.181378
    Oben rechts KachelX + 1 25052 KachelY 25483 1.66206818 -1.22489612 95.229492 -70.181378
    Unten links KachelX 25051 KachelY + 1 25484 1.66187644 -1.22496113 95.218506 -70.185103
    Unten rechts KachelX + 1 25052 KachelY + 1 25484 1.66206818 -1.22496113 95.229492 -70.185103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22489612--1.22496113) × R
    6.5010000000143e-05 × 6371000     		dl = 414.178710000911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22489612--1.22496113) × R
    6.5010000000143e-05 × 6371000     		dr = 414.178710000911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66187644-1.66206818) × cos(-1.22489612) × R
    0.000191739999999996 × 0.339043702617723 × 6371000     		do = 414.167494108835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66187644-1.66206818) × cos(-1.22496113) × R
    0.000191739999999996 × 0.338982542403024 × 6371000     		du = 414.092782286538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22489612)-sin(-1.22496113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339043702617723-0.338982542403024)×R²
    abs(1.66206818-1.66187644)×6.11602146988743e-05×R²
    0.000191739999999996×6.11602146988743e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.11602146988743e-05×40589641000000     		ar = 171523.886471384m²