Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2505 / 590
↖ ↑ ↗
← N 77.804771°
E 40.166016°		 ← 2 064.48 m → N 77.804771°
E 40.253906°		 →
↑
2 065.99 m
↓
↑
2 065.99 m
↓
N 77.786191°
E 40.166016°		 ← 2 067.58 m →
4 268 388 m²		 N 77.786191°
E 40.253906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6116943359375 y=0.1441650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6116943359375 × 212)
    floor (0.6116943359375 × 4096)
    floor (2505.5)     		tx = 2505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1441650390625 × 212)
    floor (0.1441650390625 × 4096)
    floor (590.5)     		ty = 590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2505 / 590 ti = "12/2505/590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2505/590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2505 ÷ 212
    2505 ÷ 4096     		x = 0.611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 590 ÷ 212
    590 ÷ 4096     		y = 0.14404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611572265625 × 2 - 1) × π
    0.22314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70102922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14404296875 × 2 - 1) × π
    0.7119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23654398867334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70102922} λ = 0.70102922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23654398867334))-π/2
    2×atan(9.36092386059167)-π/2
    2×1.46437287499428-π/2
    2.92874574998857-1.57079632675     		φ = 1.35794942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70102922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.166016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35794942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.804771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2505 KachelY 590 0.70102922 1.35794942 40.166016 77.804771
    Oben rechts KachelX + 1 2506 KachelY 590 0.70256320 1.35794942 40.253906 77.804771
    Unten links KachelX 2505 KachelY + 1 591 0.70102922 1.35762514 40.166016 77.786191
    Unten rechts KachelX + 1 2506 KachelY + 1 591 0.70256320 1.35762514 40.253906 77.786191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35794942-1.35762514) × R
    0.000324280000000066 × 6371000     		dl = 2065.98788000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35794942-1.35762514) × R
    0.000324280000000066 × 6371000     		dr = 2065.98788000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70102922-0.70256320) × cos(1.35794942) × R
    0.00153398000000005 × 0.211243414171206 × 6371000     		do = 2064.47905180864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70102922-0.70256320) × cos(1.35762514) × R
    0.00153398000000005 × 0.211560365189643 × 6371000     		du = 2067.57660985834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35794942)-sin(1.35762514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211243414171206-0.211560365189643)×R²
    abs(0.70256320-0.70102922)×0.000316951018437345×R²
    0.00153398000000005×0.000316951018437345×6371000²
    0.00153398000000005×0.000316951018437345×40589641000000     		ar = 4268388.49564544m²