Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2505 / 2025
↖ ↑ ↗
← N 66.912834°
W 69.916992°		 ← 1 916.15 m → N 66.912834°
W 69.873047°		 →
↑
1 916.84 m
↓
↑
1 916.84 m
↓
N 66.895596°
W 69.916992°		 ← 1 917.50 m →
3 674 246 m²		 N 66.895596°
W 69.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.30584716796875 y=0.24725341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.30584716796875 × 213)
    floor (0.30584716796875 × 8192)
    floor (2505.5)     		tx = 2505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24725341796875 × 213)
    floor (0.24725341796875 × 8192)
    floor (2025.5)     		ty = 2025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2505 / 2025 ti = "13/2505/2025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2505/2025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2505 ÷ 213
    2505 ÷ 8192     		x = 0.3057861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2025 ÷ 213
    2025 ÷ 8192     		y = 0.2471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3057861328125 × 2 - 1) × π
    -0.388427734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.22028172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2471923828125 × 2 - 1) × π
    0.505615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.58843710581018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22028172} λ = -1.22028172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58843710581018))-π/2
    2×atan(4.89609087354169)-π/2
    2×1.36932279608309-π/2
    2.73864559216619-1.57079632675     		φ = 1.16784927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22028172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16784927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.912834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2505 KachelY 2025 -1.22028172 1.16784927 -69.916992 66.912834
    Oben rechts KachelX + 1 2506 KachelY 2025 -1.21951473 1.16784927 -69.873047 66.912834
    Unten links KachelX 2505 KachelY + 1 2026 -1.22028172 1.16754840 -69.916992 66.895596
    Unten rechts KachelX + 1 2506 KachelY + 1 2026 -1.21951473 1.16754840 -69.873047 66.895596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16784927-1.16754840) × R
    0.000300870000000009 × 6371000     		dl = 1916.84277000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16784927-1.16754840) × R
    0.000300870000000009 × 6371000     		dr = 1916.84277000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22028172--1.21951473) × cos(1.16784927) × R
    0.000766990000000023 × 0.392131066364439 × 6371000     		do = 1916.14582459043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22028172--1.21951473) × cos(1.16754840) × R
    0.000766990000000023 × 0.392407821740388 × 6371000     		du = 1917.49818787798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16784927)-sin(1.16754840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392131066364439-0.392407821740388)×R²
    abs(-1.21951473--1.22028172)×0.000276755375949733×R²
    0.000766990000000023×0.000276755375949733×6371000²
    0.000766990000000023×0.000276755375949733×40589641000000     		ar = 3674246.431742m²