Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25048 / 25519
↖ ↑ ↗
← S 70.315038°
E 95.185547°		 ← 411.51 m → S 70.315038°
E 95.196533°		 →
↑
411.44 m
↓
↑
411.44 m
↓
S 70.318738°
E 95.185547°		 ← 411.43 m →
169 295 m²		 S 70.318738°
E 95.196533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764419555664062 y=0.778793334960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764419555664062 × 215)
    floor (0.764419555664062 × 32768)
    floor (25048.5)     		tx = 25048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778793334960938 × 215)
    floor (0.778793334960938 × 32768)
    floor (25519.5)     		ty = 25519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25048 / 25519 ti = "15/25048/25519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25048/25519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25048 ÷ 215
    25048 ÷ 32768     		x = 0.764404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25519 ÷ 215
    25519 ÷ 32768     		y = 0.778778076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764404296875 × 2 - 1) × π
    0.52880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66130119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.55755615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75161431211685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66130119} λ = 1.66130119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75161431211685))-π/2
    2×atan(0.173493644373909)-π/2
    2×0.171783699252531-π/2
    0.343567398505062-1.57079632675     		φ = -1.22722893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66130119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22722893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.315038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25048 KachelY 25519 1.66130119 -1.22722893 95.185547 -70.315038
    Oben rechts KachelX + 1 25049 KachelY 25519 1.66149294 -1.22722893 95.196533 -70.315038
    Unten links KachelX 25048 KachelY + 1 25520 1.66130119 -1.22729351 95.185547 -70.318738
    Unten rechts KachelX + 1 25049 KachelY + 1 25520 1.66149294 -1.22729351 95.196533 -70.318738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22722893--1.22729351) × R
    6.45799999998697e-05 × 6371000     		dl = 411.43917999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22722893--1.22729351) × R
    6.45799999998697e-05 × 6371000     		dr = 411.43917999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66130119-1.66149294) × cos(-1.22722893) × R
    0.000191749999999935 × 0.336848142950058 × 6371000     		do = 411.506912717262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66130119-1.66149294) × cos(-1.22729351) × R
    0.000191749999999935 × 0.336787336368205 × 6371000     		du = 411.432629010213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22722893)-sin(-1.22729351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336848142950058-0.336787336368205)×R²
    abs(1.66149294-1.66130119)×6.08065818523684e-05×R²
    0.000191749999999935×6.08065818523684e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.08065818523684e-05×40589641000000     		ar = 169294.785178281m²