Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25048 / 24205
↖ ↑ ↗
← S 64.834926°
E 95.185547°		 ← 519.47 m → S 64.834926°
E 95.196533°		 →
↑
519.43 m
↓
↑
519.43 m
↓
S 64.839597°
E 95.185547°		 ← 519.38 m →
269 806 m²		 S 64.839597°
E 95.196533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764419555664062 y=0.738693237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764419555664062 × 215)
    floor (0.764419555664062 × 32768)
    floor (25048.5)     		tx = 25048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738693237304688 × 215)
    floor (0.738693237304688 × 32768)
    floor (24205.5)     		ty = 24205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25048 / 24205 ti = "15/25048/24205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25048/24205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25048 ÷ 215
    25048 ÷ 32768     		x = 0.764404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24205 ÷ 215
    24205 ÷ 32768     		y = 0.738677978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764404296875 × 2 - 1) × π
    0.52880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66130119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738677978515625 × 2 - 1) × π
    -0.47735595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49965796771384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66130119} λ = 1.66130119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49965796771384))-π/2
    2×atan(0.223206490920267)-π/2
    2×0.219606700310762-π/2
    0.439213400621525-1.57079632675     		φ = -1.13158293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66130119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13158293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.834926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25048 KachelY 24205 1.66130119 -1.13158293 95.185547 -64.834926
    Oben rechts KachelX + 1 25049 KachelY 24205 1.66149294 -1.13158293 95.196533 -64.834926
    Unten links KachelX 25048 KachelY + 1 24206 1.66130119 -1.13166446 95.185547 -64.839597
    Unten rechts KachelX + 1 25049 KachelY + 1 24206 1.66149294 -1.13166446 95.196533 -64.839597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13158293--1.13166446) × R
    8.15300000001073e-05 × 6371000     		dl = 519.427630000684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13158293--1.13166446) × R
    8.15300000001073e-05 × 6371000     		dr = 519.427630000684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66130119-1.66149294) × cos(-1.13158293) × R
    0.000191749999999935 × 0.425227652807414 × 6371000     		do = 519.474790854734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66130119-1.66149294) × cos(-1.13166446) × R
    0.000191749999999935 × 0.425153859697695 × 6371000     		du = 519.384642295522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13158293)-sin(-1.13166446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425227652807414-0.425153859697695)×R²
    abs(1.66149294-1.66130119)×7.37931097185007e-05×R²
    0.000191749999999935×7.37931097185007e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.37931097185007e-05×40589641000000     		ar = 269806.146781326m²