Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25047 / 25479
↖ ↑ ↗
← S 70.166474°
E 95.174561°		 ← 414.47 m → S 70.166474°
E 95.185547°		 →
↑
414.43 m
↓
↑
414.43 m
↓
S 70.170201°
E 95.174561°		 ← 414.39 m →
171 753 m²		 S 70.170201°
E 95.185547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764389038085938 y=0.777572631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764389038085938 × 215)
    floor (0.764389038085938 × 32768)
    floor (25047.5)     		tx = 25047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777572631835938 × 215)
    floor (0.777572631835938 × 32768)
    floor (25479.5)     		ty = 25479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25047 / 25479 ti = "15/25047/25479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25047/25479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25047 ÷ 215
    25047 ÷ 32768     		x = 0.764373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25479 ÷ 215
    25479 ÷ 32768     		y = 0.777557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764373779296875 × 2 - 1) × π
    0.52874755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66110945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.55511474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74394440817764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66110945} λ = 1.66110945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74394440817764))-π/2
    2×atan(0.174829440124419)-π/2
    2×0.173080169968427-π/2
    0.346160339936853-1.57079632675     		φ = -1.22463599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66110945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.174561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22463599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.166474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25047 KachelY 25479 1.66110945 -1.22463599 95.174561 -70.166474
    Oben rechts KachelX + 1 25048 KachelY 25479 1.66130119 -1.22463599 95.185547 -70.166474
    Unten links KachelX 25047 KachelY + 1 25480 1.66110945 -1.22470104 95.174561 -70.170201
    Unten rechts KachelX + 1 25048 KachelY + 1 25480 1.66130119 -1.22470104 95.185547 -70.170201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22463599--1.22470104) × R
    6.5050000000122e-05 × 6371000     		dl = 414.433550000777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22463599--1.22470104) × R
    6.5050000000122e-05 × 6371000     		dr = 414.433550000777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66110945-1.66130119) × cos(-1.22463599) × R
    0.000191739999999996 × 0.339288413806346 × 6371000     		do = 414.466427311221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66110945-1.66130119) × cos(-1.22470104) × R
    0.000191739999999996 × 0.339227221698606 × 6371000     		du = 414.391676529165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22463599)-sin(-1.22470104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339288413806346-0.339227221698606)×R²
    abs(1.66130119-1.66110945)×6.11921077396937e-05×R²
    0.000191739999999996×6.11921077396937e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.11921077396937e-05×40589641000000     		ar = 171753.303271079m²