Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25047 / 24201
↖ ↑ ↗
← S 64.816233°
E 95.174561°		 ← 519.81 m → S 64.816233°
E 95.185547°		 →
↑
519.75 m
↓
↑
519.75 m
↓
S 64.820907°
E 95.174561°		 ← 519.72 m →
270 145 m²		 S 64.820907°
E 95.185547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764389038085938 y=0.738571166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764389038085938 × 215)
    floor (0.764389038085938 × 32768)
    floor (25047.5)     		tx = 25047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738571166992188 × 215)
    floor (0.738571166992188 × 32768)
    floor (24201.5)     		ty = 24201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25047 / 24201 ti = "15/25047/24201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25047/24201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25047 ÷ 215
    25047 ÷ 32768     		x = 0.764373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24201 ÷ 215
    24201 ÷ 32768     		y = 0.738555908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764373779296875 × 2 - 1) × π
    0.52874755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66110945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738555908203125 × 2 - 1) × π
    -0.47711181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49889097731992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66110945} λ = 1.66110945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49889097731992))-π/2
    2×atan(0.22337775382477)-π/2
    2×0.219769829686716-π/2
    0.439539659373432-1.57079632675     		φ = -1.13125667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66110945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.174561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13125667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.816233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25047 KachelY 24201 1.66110945 -1.13125667 95.174561 -64.816233
    Oben rechts KachelX + 1 25048 KachelY 24201 1.66130119 -1.13125667 95.185547 -64.816233
    Unten links KachelX 25047 KachelY + 1 24202 1.66110945 -1.13133825 95.174561 -64.820907
    Unten rechts KachelX + 1 25048 KachelY + 1 24202 1.66130119 -1.13133825 95.185547 -64.820907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13125667--1.13133825) × R
    8.15800000000255e-05 × 6371000     		dl = 519.746180000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13125667--1.13133825) × R
    8.15800000000255e-05 × 6371000     		dr = 519.746180000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66110945-1.66130119) × cos(-1.13125667) × R
    0.000191739999999996 × 0.425522923668576 × 6371000     		do = 519.808395262808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66110945-1.66130119) × cos(-1.13133825) × R
    0.000191739999999996 × 0.425449096623732 × 6371000     		du = 519.718209950637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13125667)-sin(-1.13133825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425522923668576-0.425449096623732)×R²
    abs(1.66130119-1.66110945)×7.38270448437661e-05×R²
    0.000191739999999996×7.38270448437661e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.38270448437661e-05×40589641000000     		ar = 270144.991184019m²