Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25046 / 25522
↖ ↑ ↗
← S 70.326138°
E 95.163574°		 ← 411.28 m → S 70.326138°
E 95.174561°		 →
↑
411.18 m
↓
↑
411.18 m
↓
S 70.329835°
E 95.163574°		 ← 411.21 m →
169 098 m²		 S 70.329835°
E 95.174561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764358520507812 y=0.778884887695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764358520507812 × 215)
    floor (0.764358520507812 × 32768)
    floor (25046.5)     		tx = 25046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778884887695312 × 215)
    floor (0.778884887695312 × 32768)
    floor (25522.5)     		ty = 25522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25046 / 25522 ti = "15/25046/25522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25046/25522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25046 ÷ 215
    25046 ÷ 32768     		x = 0.76434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25522 ÷ 215
    25522 ÷ 32768     		y = 0.77886962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76434326171875 × 2 - 1) × π
    0.5286865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66091770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.5577392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75218955491229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66091770} λ = 1.66091770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75218955491229))-π/2
    2×atan(0.173393872104319)-π/2
    2×0.171686840751841-π/2
    0.343373681503682-1.57079632675     		φ = -1.22742265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66091770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.163574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22742265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.326138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25046 KachelY 25522 1.66091770 -1.22742265 95.163574 -70.326138
    Oben rechts KachelX + 1 25047 KachelY 25522 1.66110945 -1.22742265 95.174561 -70.326138
    Unten links KachelX 25046 KachelY + 1 25523 1.66091770 -1.22748719 95.163574 -70.329835
    Unten rechts KachelX + 1 25047 KachelY + 1 25523 1.66110945 -1.22748719 95.174561 -70.329835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22742265--1.22748719) × R
    6.45399999998908e-05 × 6371000     		dl = 411.184339999304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22742265--1.22748719) × R
    6.45399999998908e-05 × 6371000     		dr = 411.184339999304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66091770-1.66110945) × cos(-1.22742265) × R
    0.000191750000000157 × 0.336665737823446 × 6371000     		do = 411.284079455669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66091770-1.66110945) × cos(-1.22748719) × R
    0.000191750000000157 × 0.336604964694836 × 6371000     		du = 411.209836616413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22742265)-sin(-1.22748719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336665737823446-0.336604964694836)×R²
    abs(1.66110945-1.66091770)×6.07731286104141e-05×R²
    0.000191750000000157×6.07731286104141e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.07731286104141e-05×40589641000000     		ar = 169098.309075244m²