Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25046 / 24203
↖ ↑ ↗
← S 64.825581°
E 95.163574°		 ← 519.66 m → S 64.825581°
E 95.174561°		 →
↑
519.56 m
↓
↑
519.56 m
↓
S 64.830254°
E 95.163574°		 ← 519.56 m →
269 966 m²		 S 64.830254°
E 95.174561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764358520507812 y=0.738632202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764358520507812 × 215)
    floor (0.764358520507812 × 32768)
    floor (25046.5)     		tx = 25046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738632202148438 × 215)
    floor (0.738632202148438 × 32768)
    floor (24203.5)     		ty = 24203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25046 / 24203 ti = "15/25046/24203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25046/24203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25046 ÷ 215
    25046 ÷ 32768     		x = 0.76434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24203 ÷ 215
    24203 ÷ 32768     		y = 0.738616943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76434326171875 × 2 - 1) × π
    0.5286865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66091770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738616943359375 × 2 - 1) × π
    -0.47723388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49927447251688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66091770} λ = 1.66091770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49927447251688))-π/2
    2×atan(0.223292105952893)-π/2
    2×0.219688250844424-π/2
    0.439376501688847-1.57079632675     		φ = -1.13141983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66091770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.163574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13141983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.825581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25046 KachelY 24203 1.66091770 -1.13141983 95.163574 -64.825581
    Oben rechts KachelX + 1 25047 KachelY 24203 1.66110945 -1.13141983 95.174561 -64.825581
    Unten links KachelX 25046 KachelY + 1 24204 1.66091770 -1.13150138 95.163574 -64.830254
    Unten rechts KachelX + 1 25047 KachelY + 1 24204 1.66110945 -1.13150138 95.174561 -64.830254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13141983--1.13150138) × R
    8.15499999999858e-05 × 6371000     		dl = 519.55504999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13141983--1.13150138) × R
    8.15499999999858e-05 × 6371000     		dr = 519.55504999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66091770-1.66110945) × cos(-1.13141983) × R
    0.000191750000000157 × 0.425375266747399 × 6371000     		do = 519.655121838268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66091770-1.66110945) × cos(-1.13150138) × R
    0.000191750000000157 × 0.425301461191619 × 6371000     		du = 519.564958074459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13141983)-sin(-1.13150138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425375266747399-0.425301461191619)×R²
    abs(1.66110945-1.66091770)×7.38055557794048e-05×R²
    0.000191750000000157×7.38055557794048e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.38055557794048e-05×40589641000000     		ar = 269966.020439606m²