Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25045 / 24437
↖ ↑ ↗
← S 65.897167°
E 95.152588°		 ← 498.89 m → S 65.897167°
E 95.163574°		 →
↑
498.79 m
↓
↑
498.79 m
↓
S 65.901653°
E 95.152588°		 ← 498.80 m →
248 816 m²		 S 65.901653°
E 95.163574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764328002929688 y=0.745773315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764328002929688 × 215)
    floor (0.764328002929688 × 32768)
    floor (25045.5)     		tx = 25045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745773315429688 × 215)
    floor (0.745773315429688 × 32768)
    floor (24437.5)     		ty = 24437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25045 / 24437 ti = "15/25045/24437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25045/24437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25045 ÷ 215
    25045 ÷ 32768     		x = 0.764312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24437 ÷ 215
    24437 ÷ 32768     		y = 0.745758056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764312744140625 × 2 - 1) × π
    0.52862548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66072595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745758056640625 × 2 - 1) × π
    -0.49151611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54414341056125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66072595} λ = 1.66072595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54414341056125))-π/2
    2×atan(0.213494670199624)-π/2
    2×0.210336895451635-π/2
    0.42067379090327-1.57079632675     		φ = -1.15012254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66072595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.152588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15012254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.897167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25045 KachelY 24437 1.66072595 -1.15012254 95.152588 -65.897167
    Oben rechts KachelX + 1 25046 KachelY 24437 1.66091770 -1.15012254 95.163574 -65.897167
    Unten links KachelX 25045 KachelY + 1 24438 1.66072595 -1.15020083 95.152588 -65.901653
    Unten rechts KachelX + 1 25046 KachelY + 1 24438 1.66091770 -1.15020083 95.163574 -65.901653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15012254--1.15020083) × R
    7.82900000000364e-05 × 6371000     		dl = 498.785590000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15012254--1.15020083) × R
    7.82900000000364e-05 × 6371000     		dr = 498.785590000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66072595-1.66091770) × cos(-1.15012254) × R
    0.000191749999999935 × 0.408375587724264 × 6371000     		do = 498.887646705609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66072595-1.66091770) × cos(-1.15020083) × R
    0.000191749999999935 × 0.408304122265569 × 6371000     		du = 498.800341696249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15012254)-sin(-1.15020083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408375587724264-0.408304122265569)×R²
    abs(1.66091770-1.66072595)×7.14654586948527e-05×R²
    0.000191749999999935×7.14654586948527e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.14654586948527e-05×40589641000000     		ar = 248816.196093336m²